サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メールをGmail経由で同期させようとしています。
Gmailのフォルダにある送受信メールは、Gmailをサンダーバードに読み込むことで実現ができています。
これを独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールでやろうとしています。
2年くらい前に、設定方法を解説した記事があって、途中までやって断念しました。
再度、やろうとしているわけですが、設定方法を解説した記事が見つかりません。

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何がどうなっていて、何をどうしたいかが、理解できない...

1. Gmailのフォルダにある送受信メールは、Gmailをサンダーバードに読み込むことで実現ができています。
   これは、IMAPかPOP3かは知らぬが、ThunderbirdにGmail のアカウントを定義し、普通にGmailのサーバーにアクセスできている、ということでしょう。
2. これを独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールでやろうとしています。
   「これを」は、何をどのようにすることを指す？
   「独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールで」は、現在その「独自ドメインのメールアカウント」をThunderbirdで定義してあって、普通に独自ドメインのサーバーにアクセスできている、ということでしょうか？
3. サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メールをGmail経由で同期させようとしています。
   「サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メール」は、既にダウンロードしてあって、どこのサーバーにも存在しないメールデータのこと？
   それならば、Gmail IMAPを使って、Gmail IMAPのメールボックスにメールをコピー(アップロード)すればいいだけの話...
   「サンダーバードのローカルフォルダに保存される」であって「保存されている」ではないから、
   あるPOP3アカウントのメールを全部Gmailに転送して、メールは全てGmailのアカウントだけで処理したい、ということだとは思うが。

メールは全てGmailのアカウントだけで処理したい、という場合、
(a) GmailではないPOP3アカウントのサーバー側のフィルターでGmailのメールアドレスに転送。
(b) GmailではないPOP3アカウントをGmailに登録しておき、Gmailに、勝手に定期的にログインしてメールをダウンロードしてGmailのInboxにいれさせる。
あたりが常套手段でしょう。
この場合、送信メールのコピーは、GmailではないPOP3アカウントにアクセスしているメーラーのローカルのファイルに保存されていますから、自動的にGmailのメールボックスにコピーするのは不可能。
(c) GmailではないPOP3アカウント用のメールアドレスでメールを送信する時に、
(c-1) GmailではないPOP3アカウント用のメールアドレスをGmailに登録しておき、
そのメールアドレスで送信する時にGmailのSMTPサーバーを使用し、
Gmailのサーバーに、Gmail IMAPの[Gmail]/Sent Mailに送信メールデータのコピーを保存させる。
(c-2) GmailではないPOP3アカウント用のメールアドレスでメール送信する時に、
送信メールのコピーをGmail IMAPの[Gmail]/Sent Mailに保存する。
くらいになるでしょう。