受信トレイ-フォルダA-フォルダB-フォルダC-フォルダX/Y　というフォルダ構成になっています。
X、Yフォルダの両方とも、件名では検索できますが本文で検索することができません。

どうすれば本文の中身を検索してくれるのでしょうか？

IMAP アカウントではないでしょうか？
もし、IMAP アカウントならば、現在の仕様だと思われます。

IMAP アカウントならば、アカウント設定内の [同期とディスク領域] > [メッセージの同期] で
「このアカウントのメッセージをコンピュータに保存する」にチェックを入れて、[詳細] ボタン
をクリックして、対象フォルダにチェックを入れます。

これで、メッセージ本体（本文を含む）をローカルに保存します。
つまり、オフラインでもメッセージ検索が可能になります。

Thunderbird の検索機能として、他にグローバル検索もあります。

【大きなお世話】
Tunderbird 31.6.0 が、すでにリリースされています。
アップデートをお勧めします。

アカウント設定内の [同期とディスク領域] > [メッセージの同期] を確認しましたが、
「このアカウントのメッセージをコンピュータに保存する」には既にチェックが入っており、問題のフォルダも対象フォルダになっていました。
が、「メッセージを検索」では検索されません

【大きなお世話】
Tunderbird 31.6.0 が、すでにリリースされています。
アップデートをお勧めします。

既に知っており、アップデートしようとしましたが何度か失敗しています。
Thunderbird公式ページからプログラム本体をダウンロードしようとしても「Thunderbird Setup 31.5.0.exe」がダウンロードされるので、
リリースが取り消されたのかと思っていました。
31.6.0はどこからダウンロードできるのでしょうか？

　該当 IMAP アカウントのサーバ上の受信トレイ直下に、フォルダA・B・C・X・Yがあり、
そこにメッセージがあり、同期対象として購読も設定されていますか？
そして、ローカルにメッセージがダウンロードできているのを確認できていますか？

IMAPアカウントのサーバ上(Web上のGmail)にA・B・X・Yがあります。
フォルダ構成は「INBOX/A-B-X・Y」で、INBOX/Aは受信トレイと同階層にあります。

ローカルのThunderbird側は「受信トレイ-フォルダA-フォルダB-フォルダX・Y」です。

「同期対象として購読」というのがよく解りません。

また、メッセージがローカルにダウンロードできているかどうかを確かめるにはどうすれば良いでしょうか？

下記に書かれている「同期されていないメッセージについては、ヘッダのみ検索可能」という状態なのだと思いますが、なぜメッセージが同期されないのでしょうか…
パフォーマンスと検索：IMAP による同期 | Thunderbird ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/imap- ... chaiaecuic

問題のフォルダXに対して、フォルダのプロパティ-同期タブを確認したところ
「このフォルダをオフラインで使用する」にはチェックが入っていますし、
その下の「今すぐダウンロード」を押した後にメッセージ検索を行ってみましたが、やはり検索されませんでした。

そのフォルダ（A・B・X・Y）内に該当メッセ―ジがあることを確認されていますか？
ブラウザでアクセスして、そのメッセ―ジの存在を確認できていますか？
そして、ちゃんとサイズがありますか？

サ―バ上と同様に、そのフォルダ内にメッセ―ジがあることを確認されていますか？
そして、サイズはありますか？

メニュ―からも、該当フォルダの右クリックからも「購読」という項目があります。

メッセ―ジの実体があるかどうかを確かめればいいのですから、サイズを見ればいい
でしょう。
テキストファイルですので、エディタで開けば、読むことも可能です。
IMAP アカウントのメッセ―ジは、プロファイル内の以下の場所に保管されています。
　注：拡張子の無いファイルが、メッセ―ジの実体ファイルです。

ダウンロ―ド実行中に、ステ―タスバ―左下付近に、ダウンロ―ド状況の表示が出ます。
それは確認されましたか？

念のため、最適化も実行してみましょう。
それでも検索しても現われないとしたら、ダウンロ―ドできていないか、ダウンロ―ドしたものの、保存されていない可能性が考えられます。

となると、別の問題が起きているかも知れません。
Tunderbird のアップデ―トが正常にできないことと併せて、何かしらの問題を抱えているかも知れません。

「サーバ上のメッセージを検索する」にチェックが入っています。

アカウント設定内の [同期とディスク領域] > [メッセージの同期] を確認しましたが、
「このアカウントのメッセージをコンピュータに保存する」には既にチェックが入っており、問題のフォルダも対象フォルダになっていました。
が、「メッセージを検索」では検索されません:cry:

Gmail IMAPでこれを行うには、検索文字列をUTF-8で送る必要があります。
現在のThunderbirdの仕様では、フォルダープロパティーで指定されているフォールバック文字エンコーディングが、サーバーに送る検索文字列のcharsetになります。

「このエンコーディングをフォルダ内のすべてのメッセージに適用する」にチェックを入れたり

自分が何をしているのか、ちゃんと理解して行っていますか？...

「サーバ上のメッセージを検索する」にチェックが入っています。

Gmail IMAPでこれを行うには、検索文字列をUTF-8で送る必要があります。
現在のThunderbirdの仕様では、フォルダープロパティーで指定されているフォールバック文字エンコーディングが、サーバーに送る検索文字列のcharsetになります。

IMAPアカウントのサーバ上(Web上のGmail)にA・B・X・Yがあります。
フォルダ構成は「INBOX/A-B-X・Y」で、INBOX/Aは受信トレイと同階層にあります。
ローカルのThunderbird側は「受信トレイ-フォルダA-フォルダB-フォルダX・Y」です。
※以前「受信トレイ-フォルダA-フォルダB-フォルダC-フォルダX/Y」と書きましたが、階層が1つ少なかったです。申し訳ありません。

グローバル検索では見つけることができました。

テストとして、Thunderbird のローカルフォルダ内の任意のフォルダに、該当メッセージをコピーして、そのフォルダを対象にしてメッセージの本文検索をおこなったら、どうなるかも試してみてください。
他のメッセージも同様に、同じフォルダにコピーして、本文の検索結果がどうなるかも試してみてください。

つまり、本文の検索ができるメッセージと、できないメッセージの有無を見つけてほしいということです。
その有無を発見できたならば、それらのメッセージのソースで相違点を比較したら、違いがわかる手がかりになると思われます。

そもそも、その本文の検索ができない該当メッセージは、どのようなものなのでしょうか？
できれば、メッセージのソースを提示・開示していただけないでしょうか。
　注１：ヘッダも含めてお願いします。
　注２：提示上支障のある箇所は、マスク処理してください。

次に、WADA さんからのヒント（サジェスチョン）についてです。

当方でも、Gmail IMAP アカウントで、フォルダのプロパティでフォールバック文字エンコーディングを UTF-8 に設定したところ、本文の検索ができました。
これは私も知らなかったことで、ひとつ知識が増えました。

tbユーザーさんも、同様に試してみてはいかがですか。
これで、フォールバック文字エンコーディングの違いによるものなのか、該当メッセージ特有
の問題なのかの切り分けがすすむと思います。

このようなケースなら、検索機能それ自体の問題というよりは、検索対象の実体ファイルに問題が起こっていると考えたほうがいいかと思われます。
そのあたりを点検するための簡単なテストとして、その「特定フォルダ」を対象に、半角英数文字（ASCII 文字）だけで [メッセージを検索] を実行するとどうなりますか。
例えば、本文内に書かれている URL に含まれる "http" の文字列で本文を検索するといった条件で検索結果が正しく出るなら、さしあたって検索機能に本質的な問題があるとは考えにくくなります。

実際に検索できなかったキーワードが何かわかりませんが、ASCII 規格以外の文字コードで扱われるものだと想像されます。差し支えのない範囲で、実際に検索できなかったキーワードを例示していただくと、このフォーラムを見ているみなさんに tbユーザー さんのところの事情が、今よりは見えてくるのではないでしょうか。