会社で使用しているインターネットプロバイダーはどちらでしょうか？
auの回線からだと送信のみができないという状況を見ると、サブミッションポートの問題かもしれません。

もし会社のインターネットプロバイダーがau以外であれば、Thunderbird側でSMTPサーバーの設定追加を行って、SMTPポートの変更とSMTP認証の設定が必要になると思います。
その際、具体的なポート番号やSMTP認証の情報は、会社のシステム部門に問い合わせた方がいいと思います。

SMTPサーバーの設定追加を行ったら、会社LAN用とauのWiFi用を状況に合わせて使い分ける必要が出てきます。