まず「フォルダペイン表示」って何ですか？

フォルダペインの表示種類は、5 種類あります。
どの表示形式ですか？
そして、未読件数が自動的に表示されないのは具体的にどのフォルダですか？

未読件数が自動的に表示されない該当フォルダの「最適化」や「フォルダを修復」を
おこなったらどうなりますか？

メニューバーから[表示]→[レイアウト]→[フォルダペイン]といき
この[フォルダペイン]項目にチェックを入れて左側にアカウント、フォルダなどを表示する
ものとして私は認識しております。

表示形式は[すべてのフォルダ]です。
表示されないのはアカウント内の全てのフォルダです。

「最適化」「フォルダを修復」を実行すれば未読件数は表示されます。
また、フォルダをクリックさえすれば未読件数は表示されます。

「最適化」等で確認はできるのですが
フォルダ数が多くソフト起動の度に全てのフォルダを
1つずつクリックして、新着未読を確認する手間がかかるので
これは自動でできないのかなと思いご質問させて頂きました。

最適化の半自動化ならば、以下の箇所で設定可能です。

　[ツール] > [オプション] > [詳細] > [ネットワークとディスク領域] > [ディスク領域] で
　「ディスク領域を　　MB 以上節約できるときはフォルダを最適化する」にチェックを入れ
　て有効にしておきましょう。
　これで Thunderbird が最適化が必要と判定した際に、最適化の実行の有無を尋ねてくるよ
　うになります。

自動実行させる場合は、Thunderbird にはその機能はありませんのでアドオンなどを利用する
方法があります。

これは以前からチェックしておりましたが、実行の有無を尋ねられたことは
ありませんでした。

〇〇MB以上の値は30で設定しております。

Xpunge(ver0.4.3)というアドオンが
複数アカウントのフォルダの最適化が行えるということで
インストールして使用してみたのですが、未読件数は
表示されませんでした。

「フォルダを修復」を実行しても改善されないようならば、インデックスファイルを初期化してみ
てください。

これでも改善されないようならば、新規プロファイルを追加作成してそれを適用してみてください。