追加した「mail@BBB.jp」アカウントで受信できないと理解してよろしいでしょうか？
設定しているメッセージフィルタが自動振り分けをおこなっているためにあたかも「受信トレイ」で受
信できていないように見えるということではありませんよね？
（あるいは迷惑メッセージフィルタで振り分け、移動、削除されているとか）
まず確認ですが、「アカウント設定」→「サーバ設定」→「詳細」→「アカウントの詳細設定」のところで
「●このサーバアカウントの受信トレイ」にチェックを入れて選択した場合は、その下段にある
「新着メール取得時にこのサーバも同時に受信」はグレーアウトしてチェックを入れることができない
と思うのですが・・・。
[参照]
次にアカウント設定のサーバ設定で「新着メッセージを自動的にダウンロードする」などの設定項目
を確認してみてください。どうなっていますか？
[参照]
上記を確認しても正常な設定で問題ないとすれば以下が考えられます。
１．受信できないアカウントはサーバ（プロバイダ）側で POP が有効になっていない。
注：サーバ側の仕様によってはメールクライアント利用で受信する場合は別途 POP 設定が必要
なものがあります。
２．Thunderbird のプロファイルに不具合がある。（アカウント設定が正しく保存されない）
３．Thunderbird 本体側に不具合がある。
４．その他。セキュリティ対策ソフトなどによって受信接続が遮断されているなど・・・。
対処としては以下になります。
１．今一度サーバ側の POP 設定を確認してみてください。
２．その該当アカウントを一旦削除後に再起動して新たにアカウント設定をおこなう。
それでもだめならば新規プロファイルを追加で作成してアカウント設定をおこなう。
３．Thunderbird を通常の方法でアンインストールしてからインストールフォルダを削除後に PC を
再起動してから再インストールする。
４．接続遮断などがないか設定内容を見直す。