＊質問・投稿する前に フォーラムの利用について を読むのをお勧めします。
＊環境として Thunderbird のバージョンぐらいは書き添えましょう。
＊質問した後やアドバイスをもらった後には結果や経緯を必ず書くようにしましょう。



Thunderbird 側のアカウント設定でメッセージのヘッダだけを取得するようにもできますし、
メッセージをダウンロードしないようにもできます。
IMAP であれば通常は同期のみにして必要なメッセージだけダウンロードもできます。

また Gmail 側の設定により、どの時点からメッセージをダウンロード（転送）するのかもある
程度可能なようです。（POP の場合）
詳細は Gmail ヘルプをご覧ください。