掲題の件、メールの受信そのものは問題ありませんがデスクトップ通知及び通知音が鳴らないため
何時間も気づかないままという状態が度々あって困っています。
解決方法はないでしょうか？

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「outlook.comからの通知」とのことですが、こちらのフォーラムへ投稿されたということは、
Thunderbird に「Outlook.com」用のIMAPアカウントを設定されていて、Thunderbirdの新着メッセージの通知機能に関するご相談という認識でよろしいでしょうか。
そうであるならば、まずThunderbirdのバージョンを教えてください。
そうでない場合は、当フォーラムで扱う範囲ではありませんので、マイクロソフト関連のサポートやフォーラムをご利用ください。

以下、Thunderbird 68.2.1 を利用されている前提とします。

Thunderbird の「メニューボタン＞オプション＞オプション＞一般＞新着メッセージの通知」に、
☑ デスクトップ通知を表示する
☑ トレイアイコンを表示する
☑ 音を鳴らす
の項目があります。
デスクトップ通知（通知バナー、トースト通知）は表示内容と表示時間が設定できます。
音に関してはシステム既定の音以外に任意のサウンドファイルも指定できます。

また、Outlook.com用のIMAPアカウントのサーバー設定にて、
☑ 新着メッセージが届いたときのサーバー通知を許可する
を設定しておくとサーバーからのpush通知を受けることができます。

以上の設定で私の環境では問題なくOutlook.com の新着メールのデスクトップ通知や音の再生が出来ています。

ただし、ThunderbirdはただのアプリでWindowsのサービスではありませんので、常に起動してタスクバーに最少化しておくとかしないと通知はしてくれません。

通知の表示時間を長めにして派手な音を鳴らすように設定しておけば、見落としも減るかと思います。

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ご指摘いただきありがとうございました。

バージョンは68.2.1でした。
見直してみたところThunderbird内の設定は問題はありませんでしたが
Web上のOutlook内設定を見直したところ、デスクトップ通知がオフになっていましたので
それが原因で通知も音も鳴らなかったようです。

大変助かりました、ありがとうございます。

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えーと2点ツッコミどころがあります。

1つ目
to-ru さんとして質問投稿後にユーザー登録して lyala さんに改名されたのでしょうか。
それとも別人でしょうか。

2つ目
その設定はあくまで Outlook.com というWEBメールの機能であって、Thunderbirdのデスクトップ通知とは一切関係ないですし、そもそも表示される通知も別のものです。
Thunderbirdのデスクトップ通知はThunderbirdが起動していないと表示されません。

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