Bugzilla には Yosemite 限定で似たようなバグは報告されていないようです。
（見落としの可能性がありますので、一応 Smileyjun さん自身でも検索してみてください）。
起動時のメールチェックが動作しない、というバグはありましたが、かなり古いものなので関連しているかどうかは定かではありません。
https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=635165LAN 内のトラブルという事なので、サーバとクライアントの両側の設定、挙動を１つ１つ確認する事で原因がある程度絞れる気がします。
もし実際に Thunderbird のバグである場合も、再現する環境である程度調べて、要因を絞っておくと解決が早くなるかと思います。
１、Mavericks の時との違いは OS のみですか？
OS 更新に伴ってメールアカウントの設定を何かしら変更した等ありますか？
また、最後に正常に動作している事を確認した時以降に Thunderbird を更新した場合、その更新によるトラブルも考えられます。
２、起動時に読み込めなかった際、その後終了するまでの間、手動、自動で受信できますか？
起動時以外には受信できるのでしたら、タイミングや、その時の専用のコードパスのトラブルが考えられます。
起動時に読み込めなかった際にその後もずっと読めない場合、アカウント設定の読み込みのトラブル等が考えられます。
３、Thunderbird 起動時、メールサーバ側には接続しようとした痕跡は見られますか？
メールサーバに一切痕跡が見られない場合、その手前の、アカウントの読み込みや接続の準備から開始の部分のトラブルではないかと予測できます。
４、新着メッセージがないか起動時に確認するアカウントを LAN 内のメールサーバのみにした場合はどうなりますか？
これでも受信できない場合、他のアカウントの通信の影響では無い、と想定できます。
LAN 内のメールサーバのみなら受信出来る場合、どのアカウントとの組み合わせで受信できなくなるか確認してみてください。
５、LAN 内のメールサーバのアカウントと、その他の正常に動作しているアカウントの違いは、場所以外にどういう点がありますか？
たとえば、メールサーバの種類 (POP/IMAP) やポート、セキュリティ設定、サーバのホスト名の解決手段、IPv4 と IPv6 等、
他のアカウントと違う点があれば、それをサーバ、クライアントともに変更し（または、別のメールサーバを立て）、
正常なアカウントに合わせてみる事で、原因が絞れるかもしれません。
（多少めんどくさい手順にはなりますが…）
システム要件の表記およびダウンロードページについては、すみませんが私には分かりませんので他の方におまかせします。
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