横から失礼します。
さ～～や さんが書きました:
過去ログも調べてみたのですが
似たような質問もあり試してみましたが解決しませんでした。
何をどのように試されたのでしょうか？
参照した「似たような質問」の URL を挙げるとか、試した手順を説明していただけると、重複したやりとりをしなくてすむ分、お互いに助かります。
でも「入院中」とのことですから、いまから手数をかけさせるのも気の毒なので、とりあえず全体像を書いてみますから、今後の足がかりにでもしてください。
kiki さんからもご指摘がありますが、次に返信されるときは、なるべく具体的な記述を心がけていただくとありがたいです。ゆっくりでかまいませんから。
（当方も制約のある半病人ですから、すばやい対応はできませんので......。）
通常、Thunderbird が扱う標準的なパスワードとしては、次のようなものがあります。
（A）受信サーバ（IMAP / POP）にログインするための認証パスワード
（B）送信サーバ（SMTP）にログインするための認証パスワード
―― これらのパスワードは、サーバへのアクセスが生じたときにサーバ側が要求し、それに応じて Thunderbird が保管されているパスワード（とユーザー ID）を自動的に送ることで、いちいちユーザーがパスワードを入力しなくてもメールの受信や送信ができるようになっています。
（C）Thunderbird 本体のマスターパスワード
―― 上記（A）（B）のパスワードの使用を許可するためのパスワード（＝マスターパスワード）です。
マスターパスワードはその役割上自動処理はなく、そのつど入力作業が発生します。マスターパスワードが通ったあとの（A）（B）のパスワードは自動的に処理されます。
「何度もパスワード要求されます」は、どのパスワードなのでしょうか。
パスワードを要求するメッセージが出ているなら、その文面 ―― 例えば「○○のパスワードを入力してください」「ユーザ名とパスワードを入力してください」「メールサーバのパスワードを入力してください」などを示していただけると、状況が第三者に伝わりやすくなります。
（１：マスターパスワードの問題であるケース）
さしあたって推測できるひとつは、マスターパスワードを要求されている可能性でしょうか。
例えばアカウント設定で [新着メッセージがないか起動時に確認する] が有効になっていれば、Thunderbird の起動時に受信サーバへのアクセスが発生します。
受信サーバは認証パスワードを要求し、Thunderbird は（A）のパスワードを自動的に送ろうとしますが、マスターパスワードが有効になっていると（A）のパスワードを使用するためにマスターパスワードの入力が求められます。
[新着メッセージがないか <N 分> ごとに確認する] も有効になっていると、各アカウントの設定条件によっては、たびたびマスターパスワードの入力を求められるケースはあるかもしれません。
自分でマスターパスワードを有効にしたのなら、しばしばパスワードを求められるのは正常な動作です。
マスターパスワードをうっかり設定することは、普通は考えられません。設定時に厳重なパスワード入力を求められ、それを経ないと有効にできないからです。
しかし、自分でマスターパスワードを有効にした覚えがない場合、プロファイルに何らかの障害が発生している可能性が考えられます。
（参考）マスターパスワード障害の一例です。
・設定していないのにマスターパスワードを求められる
https://support.mozillamessaging.com/ja/kb/master-password-requested-but-not-set
―― さ～～や さんのところで起こっている問題の原因が必ずしもこれだとはいえません。こういうケースもあるという例示です。後述する観点についても理解を深めてから対処することをお勧めします。
（２：認証パスワードの問題であるケース）
（A）（B）の認証パスワードが正しく保存されていて、サーバと Thunderbird のやりとりも正常なら、ユーザーが認証パスワードの入力を求められることはありません。
仮に、（A）（B）に間違ったパスワードが保存されていたり、サーバと Thunderbird のやりとりに異常が発生したとしても、ユーザーの目に触れるのは認証エラーの警告であり、何度もパスワード入力を求められることはまずないと思います。
認証パスワードを何度も求められるとしたら、それらのパスワードが Thunderbird に保存されていない場合だと思われます。サーバに送るべきパスワードがない（認識できない）ので、Thunderbird がユーザーに入力を求める、といった具合にです。
初回の認証パスワード入力時に保存するオプションを選択してるのに、次回以降も認証パスワードの入力を求められるのであれば、パスワードの正常な保存（または読み出し）を妨げる障害が発生していることが疑われます。
パスワード情報は、プロファイル内にある signons.sqlite と key3.db という 2 つのファイルがペアになって管理しています。どちらか一方または両方に障害が起こっていると、Thunderbird はパスワード情報を適切に扱えなくなります。
「10個ほど設定しています」のすべてのアカウント（サーバ）のパスワードで問題が起こっているとしたら、パスワード情報を保管したファイルが破損している可能性が高いかもしれません。
が、いまの時点で障害のありかをピンポイントで断定することはできません。後述する「新しいプロファイル」での動作確認をお勧めします。
さ～～や さんが書きました:
AppCleanerという消去用アプリを使っていますので関連ファイルも全て消去できます。
そして再インストールしてしてもまたパスワードを要求されます。（一定の時間が経てば要求されるのかもしれません？）
AppCleaner の詳細は存じ上げませんが、Thunderbird のプログラムだけでなくプロファイルをもすべて削除するのであれば、これまで送受信したメッセージも全部消えてしまうのではないでしょうか？
そして、Thunderbird を再インストールするたびにまっさらなプロファイルが生成され、その下で最初からアカウント設定を求められるはずです。
しかし、再インストール後の起動時にアカウント設定を求められることなく、これまで使っていたアカウント群が表示されていて、これまでどおりパスワード入力を求められるのだとすれば、プロファイルは削除されていません。（もしもプロファイルの一部だけが削除されているとしたら、AppCleaner の使用が問題を複雑化している可能性もありえるかも？）
そしてもし、プロファイル内にトラブルの原因があるなら、そのプロファイルを使い続ける限り問題は解決しません。
この場合、再インストールではなく新しいプロファイルを追加作成し、そのプロファイルで試験的にいくつかのアカウントを設定して（パスワードも一から入力して）、同じような問題が再発するかどうか確認してください。
（参考）
・複数のプロファイルを使用する
https://support.mozillamessaging.com/ja/kb/using-multiple-profiles
―― 「プロファイル」が何かということも、記事内のリンク先から理解を深めてください。
テスト目的の新規プロファイルなので、アドオン類は入れないでください。既存のプロファイルは削除しなくてもかまいません。
新しいプロファイルで再発しないのであれば、これまで使っていたプロファイルに障害が起こっていたことになります。
まったく新しく作ったプロファイルでも再発するのであれば、そのパスワード要求を出しているのが Thunderbird 以外の何者かである可能性が高まります。セキュリティ対策ソフトなど含めたシステム全体を視野に入れて点検したほうがいいと思います。
長くなりましたが、質問文から推測できることは以上です。的外れだったらすみません。
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