受信トレイ（未読mailも含む）、送信トレイ　両方とも　約40分でその中のmailがゴミ箱へ自動的に移動し困っています。

何らかの設定があると思いますが見つけることができません。
助けていただきたく、よろしくお願いいたします。

※質問するときは、フォーラムの利用について [投稿する前にお読みください] に目を通し、OS の種類や Thunderbird のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えるか、投稿用テンプレート の利用をお勧めします。

個人的には聞いたことがない現象です。
移動されるメッセージには、差出人や件名などの決まった条件はなく、まったくランダムかつ一律にそうなるのでしょうか？

環境条件がまったく不明なので以下は一般論になりますが......。

すでにご存知かもしれませんが、メッセージの削除に関わる Thunderbird 3.1 系の設定は、次の箇所にあります。

・[ツール] -> [アカウント設定] の各アカウント配下で、POP の場合は [ディスク領域] 、IMAP の場合は [同期とディスク領域] に「削除」にメールの削除にかかわる設定項目があります。
・トレイ / フォルダごとに、[右クリック] -> [プロパティ] -> [保管ポリシー] で、上記の設定を個別に設定することもできます。（ただし、[送信トレイ] は特殊なフォルダなので [保管ポリシー] はありません。[送信済みトレイ] にならあります。）

しかし、いずれも "日" 単位でしか設定できません。"分" 単位の動作は設定できません。

他に、メッセージフィルタで各メッセージの移動は可能ですが、Thunderbird の起動中に "分" 単位で自動実行する機能はありません。

Thunderbird の標準機能以外では、入れているアドオンによってそのような動作ができてしまうものがあるのかもしれません。
トラブルシューティングの定石である「セーフモード」と「新しいプロファイル」での動作を確認してみてください。問題点が見えてくるかもしれません。
（参考）
・セーフモード
・プロファイル
・複数のプロファイルを使用する
＊「新しいプロファイル」は動作検証のために作るので、メールを送受信できる最低限のアカウント設定を済ませすだけでかまいません。自分自身でメールを送受信して、約 40 分ごとにそれが自動的に [ごみ箱] に移動されるかどうかを確認できればいいです。

とりあえず以上です。外してたらすみません。