WindowsのWord2002を使って下書きしてメールをおくことが多いのですが、
その下書きをThunderbirdに貼り付けるとWordで作っていた配置が崩れてしまいます。
これを防ぐにはどうすればよいでしょうか。

まず、ご質問の際はご使用の環境について、最低でも OS の種類およびバージョン、Mozilla製品
（ここでは Thunderbird）のバージョン くらいはご記載いただきますようお願いいたします。
（ フォーラムの利用に関するご案内 をぜひご一読ください。）

“どういった文章の、どういった部分(の配置)が、どういったふうに崩れるのか” 、そういった詳細な
情報をいただかないと、回答のしようがないように思います。

ご記載の情報だけで推測するとしたらフォントの違いや、Word の自動レイアウト機能のせいなどかな
とは思いますが、情報が少なすぎてこれ以上は推測のしようもありません。

一度メモ帳に貼り付けてから、そのメモ帳の文章をコピペしてみては如何でしょうか。