ＩＤとパスワードを記憶できなくなってしまいました。
アンインストールして入れなおしてみましたが、状況は変わりません。
ボタンを押しても反応してくれません。
対処方法等お教えいただければ幸いです。

OSとFirefoxのビルド（バージョン）は？

profile内のkey3.db、signons.sqlite、cookies.sqlite、cookies.sqlite-journalを別ディレクトリにコピーして、上記ファイルから直接削除やオプションからcookieを削除して、Firefoxを再起動。
改めてIDとpassを必要なサイトに接続～ログインで覚えさせる挙動が再現する筈です。
尚、上記ファイルはFirefox3.*以降のですから注意。

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

　
＊質問・投稿する前に フォーラムの利用について をきちんと読みましょう。
＊環境として OS の種類、Firefox のバージョンぐらいは書き添えましょう。
＊質問した後は結果や経過を必ず書くようにしましょう。


対処法は以下のドキュメントを参照してひとつずつ確認して問題を切り分けて
みることです。
Firefox サポート / ナレッジベース / ユーザ名とパスワードが保存されない
Firefox サポート / ナレッジベース / 設定が保存されない

古いバージョンの場合は以下に該当するかもです。
Firefox サポート / ナレッジベース / Firefox のアップグレード後にパスワードの使用と保存ができない

上記でも解決しない場合は以下を参考にしてセーフモードや新規プロファイル
で確認してみてください。
Firefox サポート / ナレッジベース / 基本的なトラブルシューティング


多くの不具合はプロファイルに問題がある場合です。
ですので Firefox 本体の再インストールではほとんど解決されないことが多いです。