yahooメールで「ＩＤ省略」にチェック入れて、一回ブラウザを閉じてみるとＩＤ省略ができてなくていちいちログインしないとできません。どこでどうすればログイン状態を維持できますか:?:

※ 「フォーラムの利用に関するご案内」 、とりわけ 質問するときは に目を通し、せめて OS の種類や Firefox のバージョンといった最低限の情報ぐらいは書き添えましょう。

Yahoo! JAPANの推奨ブラウザ
http://help.yahoo.co.jp/help/jp/common/sys/sys-01.html
の範囲内だとして、想像できる範囲で...。

ぼくは Yahoo!メールを使っていないので、Yahoo! についての細かいことは知らないのですが、この種のサービスは Cookie が使われていることが多いです。
まず、現状のままで確認するとしたら、Firefox の Cookie 関係の設定を見直すことでしょうか。
例えば、Cookie が有効になっていて、Yahoo!メールのサーバーの Cookie を許可しているか、Firefox の終了時の履歴情報の消去で Cookie やログイン情報などを消していないか、といったあたりをチェック。
これまで使っていた Cookie が破損した可能性も考えられるので、現時点で Firefox に保持されている Yahoo! の Cookie を削除した上で、Yahoo!メールに手動でログインして新たな Cookie を取得してみるということも、試してみる価値はあるかもしれません。

それでも問題が改善されないなら、こちら などを参考にセーフモードや新規プロファイルで動作を確認し、問題の原因を切り分けていくことになるかと思います。
とくに、セキュリティ系のアドオンの設定ミスなどは要注意かもしれません。また、Firefox の問題ではなく、セキュリティ対策ソフトが影響している場合も考えられます。
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Firefox 3.6b3 + 3.5.5 + 3.0.15 + others
Thunderbird 3.0RC1rc + 2.0.0.23 + others
on Windows XP Pro SP3