OS ウィンドウズXP
FIREFOX 3.5

ベクター等フリーソフトをダウンロードすると時々TMPフォルダへダウンロードされ勝手に解凍されます。
解凍されるのもTMPフォルダ内やデスクトップへ
オプション設定ではデスクトップに保存されるように設定されているのですが…
何処の設定を変えればどのファイルもデスクトップへ保存されますか？

ツール～オプションの「一般」。
ダウンロード「ファイルごとに保存先を指定する」か「次のフォルダに保存する」にチェックは入ってますか？
又、該当するファイルが毎回同じなら「プログラム」の一覧から開く挙動を変更しても駄目ですか？

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

仰る通りの設定でしたがもう一度チェックし直し再起動して同じファイルをDLしましたが
やはりTMPフォルダにDLし同じフォルダで自動で展開しました。

　
TMP とは拡張機能の Tab Mix Plus のことですね。

以下の順番で改善されるか確認してみましょう。
１．Tab Mix Plus を無効または削除してみる。
２．Firefox のセーフモードで起動してみる。
３．新規プロファイルを作成してそれを適用してみる。
　

＊カタカナ半角のハンドルネーム（本文も）は環境によっては読めない方が居る可能性が
　 ありますので使わないようにしましょう。
　

TMP って Tab Mix Plus じゃなくて Windowsのテンポラリフォルダのことじゃないかという案に 100 カノッサ
# TMP と TEMP が無駄に共存してるのは何とかして欲しいですよね

Firefox が Windows のテンポラリフォルダに何かを展開するのはアドオンのインストール、アップデートや本体のアップデートのときくらいしかなかったと思います。

みたいな感じで。
zip などの圧縮ファイルをアーカイバに渡すように設定していればおそらくテンポラリフォルダが利用されますが、aides さんとのやりとりからそれも否定されてますし……
Firefox のセーフモードあるいは新規プロファイルで確認するのが一番早そうですね。

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[Desktop] Windows 10 Pro 22H2 (64bit) / Intel Core i7-2600 / Nvidia GeForce GTX 1650 GDDR6 / 32 GB Memory
[Laptop] Windows 10 Pro 22H2 (64bit) / Intel Core i5-520M vPro / Intel HD Graphics / 8 GB Memory
[Android] Android 13.0 (arm64) / Xperia 5 III (XQ-BQ42)
常用環境: Firefox ベータ版、リリース版 (Win64 x86-64, Android), Thunderbird ベータ版、リリース版 (Win64 x86-64)
テスト環境: Firefox (ESR, Nightly, Win64 x86-64, Android)
Cai/1.0 (Homo sapiens; N; Homo sapiens chemist; male; rv:0.0.4.2+)
-- いつまでたっても nightly

該当のファイルの種類について、毎回確認する設定にした場合はどのようになりますか？
またそれでも上手く行かない場合は、具体的に、どこのファイルをどのような操作でダウンロードしようとしているのかも教えてください。

参考迄に・・・
オプションの設定では「ファイルごとに保存先を指定」にしてても、「.7z」の場合は「プログラム」一覧にも存在しないからか「プログラムで開く（7-zip規定）」に成り、「今後のこ種類のファイルは同様に処理する」にチェックが出来ない挙動と成ってます。
一応「ファイルを保存する」で希望のディレクトリにはコピー出来る状況なので大きな問題では在りませんが。
3.0.12でも3.5.1でも同一の挙動。

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020