ブラウザを閉じずに複数ログインするにはどうしたらよいでしょうか？

ええと、お約束なので。
質問の際はお使いのOS(サービスパックも)とFirefoxのバージョンを書き添えるようにお願いします。



どこで提供されているどのようなサービスなのかにもよりますが、基本的に同一のブラウザでは不可能だと思います。
ログイン状態は大抵Cookieで記憶されていて、別のアカウント(ID、ユーザ、etc)でログインするとそれが上書きされます。

そこでパッと思いつく解決法は、別のProfileを指定して-no-remoteオプションをつけて起動するという手法です。
その新しく起動したFirefoxで別のIDを用いてログインすれば希望される動作に近いのではないでしょうか。

Windowsだと仮定すると以下のようなショートカットを作成するとProfileを指定して他のソフトウェアから影響されずに新しくFirefoxを起動することができます。
(Firefoxのディレクトリ\)firefox.exe -no-remote -P "(Profile Managerで確認できるProfile名)"

但し、お使いになるサービスで複数のIDの取得が禁じられている場合はルール違反です。
失礼かつ蛇足だとは思いますがそのような場合は上記のようなことはなさらないようにお願いします。

・・・・すみません、折角回答いただいたのですが、理解できません。

まずは、お使いのOSについての情報だけでなくFirefoxについての情報も提示してくださるようお願いしたいと思います。
FIrefoxのバージョンによって、同じ問題に対して対処法が異なる場合もあります。
今回の場合は必要ないと個人的には思いますが、これは質問する際の約束事ですので。



なるべく分かりやすく書いたつもりだったんですが、改めて見直してみると確かに分かりやすいとは言えない回答かもしれません。
反省してもう少し平易な表現にしてみます。

このフォーラムやmixiなどのウェブサービスにどのIDでログインしているかという情報はCookieというデータに保存されます。
そして、1つのウェブサービスのログイン情報を保存するCookieは大抵1つのブラウザについて1つだけです。


次に、Firefoxはアプリケーション自体とユーザの情報を別に管理していて、後者をProfileと呼んでいます。
ですので先の説明にある1つのブラウザという表現は、Firefoxに関しては1つのProfileと言うことができます。
そこで、新たに別のProfileを用意して、現在起動しているFirefoxとは別に起動することでお望みの状況に近いことができるのではないかと回答しました。

ここまでで述べた状況を端的に示すと以下の様になります。
　現在起動しているFirefoxはProfile Aで、ログインするIDは0000
　新たに起動するFirefoxはProfile Bで、ログインするIDは9999

上記の例でのProfile Aは既にあります。
#現在お使いのProfileがそれです。
ですから、これを実現するためには新たにProfile Bを作り、それを指定して起動するショートカットを作成すればいいと思います。
それが先に紹介した以下の例です。

(Firefoxのディレクトリ\)firefox.exe -no-remote -P "(Profile Managerで確認できるProfile名)"
#-no-remoteという部分は他のソフトウェアから干渉されない為のおまじないです。

なお、新しいProfileの作成については以下のURLを見て頂きたいと思います。
http://support.mozilla.com/ja/kb/Managing+Profiles

最後になりましたが、複数のIDを取得することがルール違反のウェブサービスもあります。
その場合はこの回答のようなことは行わないようにお願いします。

以上、更に分かりやすく書いたつもりですがまだ不足があるかもしれません。
疑問点がお有りでしたら、どの部分が分からないのか指摘していただければと思います。