今日パソコンを起動させてfirefoxを開くと急にタスクバーの二段目（ページを戻る・進むボタンの）右側が消えていました。

ツールバーのカスタマイズから初期化設定しなおし、ホームボタンやURLを入力するスペースを再び表示したのですが、URLのスペースが反応しません。

別のページに行ってもURLはずっと変わらずに最初開いたページのURLを表示したままだし、
URLを入力してエンターを押したり、移動のボタンを押しても全く反応しません。

何か解決方はないのでしょうか？非常に不便です。

OSの種類、　Firefox　のバージョンを必ず提示してください。

Firefox　で不具合に遭遇した場合、先ずは不具合診断チャートをお試し下さい。

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- Windows7　Home Premium (64bit)
- Mozilla Firefox 31.0 (32bit)
- Mozilla Nightly 34.0a1 US-En (64bit)
- Mozilla Thunderbird 24.0.3
- Twitter ID： a1works
- ChatWork ID: a1works
- Skype ID： a1_works

AVG Safe Searchが入っていると類似の不具合があったような気がします。
「ツール→アドオン」で確認してみてください。

OSはWindows XPで、Firefox 3の最新版を使っています。

Windows XPのバージョンを教えてもらえますか？

あと、Firefox 3の最新は、
Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; ja; rv:1.9.0.10) Gecko/2009042316 Firefox/3.0.10 (.NET CLR 1.1.4322; .NET CLR 2.0.50727; .NET CLR 3.0.04506.648; .NET CLR 3.0.4506.2152; .NET CLR 3.5.21022; .NET CLR 3.5.30729)
で間違いないないでしょうか

署名に書いておくといいすよ
>署名を有効にする (署名はユーザ設定で変更できます)

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DELL　DIMENSION 3100ｃ
WindowzXP　2002
Mozilla/5.0 (Windows; U; Windows NT 5.1; ja; rv:1.9.0.10) Gecko/2009042316 Firefox/3.0.10 (.NET CLR 3.5.30729)
Thunderbird　バージョン 2.0.0.21 (20090302)

とりあえず、Firefoxをセーフモードで起動してみましょう。
http://wiki.mozilla.gr.jp/wiki.cgi?page=safemode
その後、一つ一つ拡張機能を有効化して、ブラウザの画面乱れが起きないか確認してみてください。
・すべての拡張機能を有効にして問題が再現しない場合は、拡張機能がバージョンアップした時にバグがおこった可能性があります。
・特定の拡張機能を有効にして問題が再現した場合はその拡張機能以外を有効にして確認してみます。また、その特定の拡張機能がバージョンアップされていないか確認してみます。なければ、バグが修正されるまで有効化しないでください。
・単純にテーマを一度標準のものに戻して、お気に入りのに戻すことで問題が解決する場合があります。テーマがバージョンアップした時にバグがおこった可能性があるためです。なお、テーマ自体に問題がある（特に明記されていないが、例えばWindows Vista以外での動作が考慮されていないなど）場合、テーマ作者が想定しているOS以外で使うと、想定外の表示になってしまうことがあります。

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#なお、これから質問される時はお使いの環境と製品のバージョンを含めるように気をつけてください。
質問によっては環境が書かれていなくとも推測できるものもありますが、
お使いの環境が重要な情報となる質問の場合、余計な時間がかかりますので、気をつけていただければ幸いです。