ＰＣを再起動した後は必ず出て来ます。
前回のセッション中にFirefoxが突然終了してしまいました。前回終了前のタグとウィンドウを復元しますか？「セッションを復元」。
その後、絶対に決まってダウンロードのダイアログ「名前を付けて保存」が出てきます。
これはウィンドウズでアプリケーションが固まって終了出来ない事を防ぐ為に、
「応答しないアプリケーションの強制終了」する為のレジストリ入力をしています。
何か関係がありそうなので。

「せっションの復元」でFirefoxを起動した所、

ダウンロード履歴と保存されているフォーム情報と検索語句の２つが灰色になってしまって、チェックを変更できない状態になっています。

再インストールくらいしか方法はありませんでしょうかね？

ダウンロードしようとしているキャッシュ？が残っていたようです。
ダウンロード途中で終了した覚えは無かったのですが。

ダウンロードマネージャをしている途中でＯＳを終了したらどうなりますか？

Firefoxを起動したままOSを終了させると、クラッシュ（異常終了）扱いになったように思います。

Firefoxの再起動では何も出てこず、正常にFirefoxは再起動出来ます。
Firefoxを終了→Firefoxショートカットをクリック→Firefoxが起動。何の問題もありません。
何も無い状態ホームページ「about:blank」でFirefox再起動して問題もありません。

Firefox を終了せずに Windows を落とすと、Firefox から見ると「突然終了した」状態となりセッションを復元するかどうかのダイアログが出ます。

ダウンロードマネージャをしている途中でＯＳを終了したらどうなりますか？

ダウンロードのキャッシュではなく、ダウンロードファイルへのパスがセッションで復元されているのではないでしょうか。なので復元するたびにダウンロードしようとするのでは。