同じページを閲覧しても、他の端末では"Pinned"と表示されません。
どのような場合にPinningがPinnedとなるのでしょうか？

キャッシュの固定化はサイト側の戦略として設定されるものだと思いますので、Firefox が何かしているわけではないでしょう。
「他の端末」というのは、同じネットワークにある他のPC上のバージョンが同じFirefox、でしょうか。
同じページを閲覧でも、何らかの条件が違えばサーバー側の動作が異なるということは十分にありえると思います。

私がサイト側の人間なのですが、恥ずかしながらキャッシュの固定化について知識を持っておりませんでした。キャッシュまわりについて、特別設定はしていない認識です。
キャッシュの固定化について、情報があるサイト等をご存じであれば、ご教示いただけませんでしょうか。