アンインストールを行おうと思ったのですが、アンインストールさえできず

関係ファイルをすべて削除し、

セーフモードで起動しようとしても、セーフモードの案内のウィンドウすらろくに出てこず、出てきてもすぐフリーズしてしまいます。

これがちょっと解せません。
具体的にどのような操作を行って、どういう状況や表示になったのでしょうか。

これは下記を削除されたという理解でよろしいでしょうか。

• Firefoxがインストールされていたプログラムフォルダ（標準 C:\Program Files\Mozilla Firefox\ ）
• プロファイルとprofiles.iniが格納されるフォルダ （エクスプローラに %APPDATA%\Mozilla\Firefox\Profiles\ を入れて開かれるフォルダ）

Shiftキーを押しながらの起動を試してみたということですね。

セーフモード選択のダイアログが出てこない場合と、出てきてすぐにフリーズ（応答不能？）になる場合の2パターンだったということでしょうか。
もし、Firefox をクリーンインストールしてもダメ、セーフモードの起動もできないとなると…お手上げの感じですね。

アンインストーできなかった件もありますし、セキュリティソフトの影響とかが疑われるところです。
他のアプリケーションで起動できなくなったものはないでしょうか？
もし、これが本当にWindows 10の大型アップデートによるものなら、Windows のロールバックという選択肢もあるかと。

Nextをクリックするとフリーズしてどうにもならなくなってしまったということです。（しかもなぜか英語版になっている）

セーフモードのダイアログは出てこないのに、裏では起動しているという状態（タスクマネージャーでは起動している）でした。

セーフモードは、自動で起動するプロファイルが指定されていないと起動できないみたいです。

• 参考：Shift(Option)キーでセーフモードが起動しない条件 - とりかごとなり。
  （meeyar さん、参考にさせていただきました）

　

プロファイルマネージャは起動できますでしょうか？

• プロファイルマネージャーを使用して、Firefox のプロファイルを作成または削除する | Firefox ヘルプ

プロファイルマネージャは起動できます。(プロファイルはdefaultが選択されており、前述の通り削除したためdefault以外は存在していません。)

Windowsのセーフモードでの起動方法ですね。
以下の手順をお試しください。

上で書いたセーフモードはFirefoxのセーフモードのことだったんですが、どうせ手詰まりならWindowsのセーフモードも試してみるべきでしょうね。

念のため、プロファイルマネージャからプロファイル削除・再作成して「今後このプロファイルを使用する」にチェックして終了、その後セーフモード起動を試してほしいと思いますが…なんかダメそうですね。

あとはセキュリティソフトを停止してみるくらいしか…
そう言えば、「ウィルスバスターCorp.クライアント」ということは、会社のPCでしょうか。
そうすると簡単にWindowsのロールバックというわけにもいかないんでしょうね。（もっとも個人PCでも一定のリスクがあるわけですが）

ESR 52.8.0 をインストールしてみるとどうでしょうか？

失礼しました。
Shiftでのセーフモード起動ができないと読んで、Shift+再起動が応答しないと脳内変換しておりました。
がしかし、マルウェア感染等の影響でブラウザが停止させられることもありますし、
Windowsのセーフモード起動そのものは試しても良いかと思われます。
セーフモードでFirefoxが正常であるならば、現在インストールされているソフトウェアの問題、
セーフモードでも正常起動しないなら、Firefoxの問題の可能性が高いです。

WindowsのセーフモードではFirefoxが起動しました。

この場合、Windows自体が悪さをしているのか、それともセキュリティソフトやほかのソフトが悪さをしているのでしょうか。

了解です。やっと進展ありましたね。
つまり、

• Firefox自体の問題では無さそう
• 普段お使いのPC環境に何らかの問題がありそう
• アップデートしたWindows 10自体が破損しているわけでは無さそう

と言ってよいかと思います。

現時点で一番疑わしいのは、Windows 10アップデートとウイルスバスター Corp.クライアントの不整合で問題が生じている可能性、かと思います。
Windows 10を通常起動して、ウイルスバスター Corp.クライアントを停止なり無効化なりを試してみてください。
それで問題が解消されるならそれが原因かと思いますので、大学とその後の対応を相談してみてください。

問題が継続解消されない場合、Windowsのログオンアカウントを新規追加していただいて、その環境でお試しください。

これに関して大学のHPを見たところ、「ウイルスバスターCorp. XG SP1 をインストールしている PC に上記 Windows Update を行うと、Firefox や chrome が起動しなくなるトラブルがでています。

これはウイルスバスターがまだ Ver.1803 の Windows Update に対応していないためですのでご注意ください。」との記載がありました。