現在ファイヤーフォックスを立ち上げる自体出来ないので、ブックマークなどのデータを引っ張ることも出来なくて困っています。

スタートボタンの検索で「firefox.exe」を検索しても出てこず、explorerでCドライブの「ProgramFiles(x86)」→「Mozilla Firefox」を見ても実行ファイルが見当たりません。

いつの間にかタスクバーからアイコンが消えていて、デスクトップのアイコンはいつもの狐のではなく、白いファイル？の形のものが表示されていました。
デスクトップのアcイコンから立ち上げようとすると、exeファイルが移動したか削除されたかでこのショートカットキーから起動できないみたいなメッセージが出てきました。スタートボタンの検索で「firefox.exe」を検索しても出てこず、explorerでCドライブの「ProgramFiles(x86)」→「Mozilla Firefox」を見ても実行ファイルが見当たりません。
デスクトップのアイコンを右クリックでプロパティを出し元のファイルの場所を探そうとしたら、その後はデスクトップのアイコンそのものも消えてしまいました。

Firefox側でのバグやエラーなどの不具合等の問題であるならば、
Mozillaには早急にその原因を解明して、
二度とこのような現象がおきなうようにしてもらいたいものです。

諸行無常 さんの 2020年1月06日(月) 21:35 投稿内容を参考に
症状が発生した前後について振り返ってみることをお勧めいたします。

Firefoxを起動しようとして、スタートメニューのアイコンをクリックすると、やはり「exeファイルが移動したか削除されたかでこのショートカットキーから起動できない」という趣旨のメッセージが出てきました。
ドライブC、特にプログラムが格納されているフォルダーは滅多に開かないので、移動は勿論のこと、削除した記憶もありません。前日までは、何ら問題もなく起動して検索からサイトの閲覧も普通に出来ていたのですから。
そんな訳で、不審に思いながらも、削除でなく何らかの誤作動で移動されているとすれば、Cドライブの中であろうと、Cドライブ内で実行ファイルfirefox.exeを検索しましたが、見つかりませんでした。

Firefox側でのバグやエラーなどの不具合等の問題であるならば、Mozillaには早急にその原因を解明して、二度とこのような現象がおきなうようにしてもらいたいものです。

Mozilla の公式「Firefox Support Forum」で同様な事例が確認され「問題が解決」しています。
Windows Cannot Find Firefox.exe（Windows が、Firefox.exe を見つけることができません） | Firefox Support Forum（公式サポートは「米国」なので、英文です）
https://support.mozilla.org/ja/questions/1290490
その要旨：
Avast 製品（CCleaner）や、
単体プログラムの「アバスト クリーンアップ」が原因として、特定されています。
Avast 製品を使用することで、Microsoft Word などの多種多様な関連ファイルの「リンクとレジストリ」が損傷する事例が確認されている。
（Firefox.exe が行方不明などの）原因は「アバストクリーンアップが、プログラムのデバッグレジストリの値を書き換える」ことです。
Avast の値を削除するだけで問題は解決します。

(前半省略)Avast の値を削除するだけで問題は解決します。

私も同じ現象でした。

Avast 製品（CCleaner）や、
単体プログラムの「アバスト クリーンアップ」が原因として、
(中略)
Avast 製品を使用されているのならば、その使用が「障害」の最有力でしょう。