新規タブを開いた直後のフォーカスを検索バーか新しいタブページ中央の検索ボックスに設定したいと考えています。
どなたか、about:configやアドオンを活用して設定する方法をご存じないでしょうか。

既定の設定だと新しいタブを開いた直後はロケーションバーにフォーカスする設定になっていて、検索バーをクリックするかCtrl+Eを活用する必要があり、頻繁に検索する使い方だと能率が落ちます。
New Tab Searchbarというアドオンを試してみたのですが、新しいタブページがブランクになってしまうので、結局使わない事にしました。

環境：Windows 10 home 64bit 環境にて、Firefox 42.0 32bitを使用しています。

_________________
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; rv:42.0) Gecko/20100101 Firefox/42.0

Firefox のナビゲーションツールバーに置かれている [検索バー] と、タブで開かれたページ内にある [検索ボックス] (Search form) は、Firefox 内部の組み立てが若干異なります。

[新しいタブ]（about:newtab）を開いたとき、[ロケーションバー] に当たっているフォーカスを、初期状態で [検索バー] に当てる方法はちょっと思いつきません。
（自分でプログラムソースを書き換えてビルドするとか、アドオンを作るとか、ユーザースクリプトを書くとかなら、できなくはないのでしょうが......。）

[新しいタブ]（about:newtab）で開くページ内の [検索ボックス] については、次の方法でご希望をかなえられるのではないでしょうか。

開いたページ内にある input 要素（text 、search などのテキスト入力欄）を検出し、そこにフォーカスを移すという働きをするアドオンがいくつかあります。
例えば、次のようなものです。
（一例）・Input autofocus
https://addons.mozilla.org/ja/firefox/a ... autofocus/

これを例にとると、Input autofocus の設定で、
Url pattern = about:newtab
Selector (optional) = #newtab-search-text
と指定してやることで、[新しいタブ]（about:newtab）が開かれると、[検索ボックス]（#newtab-search-text）に自動的にフォーカスを当てる、という動作をしてくれると思います。

【別解】
[新しいタブ]（about:newtab）にある [タイル] 機能を使わないのなら、次のようなアドオンを使うことで、[新しいタブ] を実行したときに開かれるページを指定することができます。
（参考）・New Tab Override (browser.newtab.url replacement)
https://addons.mozilla.org/ja/firefox/a ... -override/
　（これは一例です。類似のアドオンは探せば他にもあると思います。ご自身で使いやすいと思うものを選んでください。）

こうしたアドオンで、よく使う検索サイトのトップページを指定すれば、開いたページ内にある [検索ボックス] に、自動的にフォーカスが当たるはずです。（検索サイトは通常そういう動作になります。しかし例外として、そのページに対して JavaScript がブロックされているような場合、オートフォーカスは働きません。）
または、about:home （Firefox のスタートページ）を指定しても、スタートページ内にある [検索ボックス] にフォーカスが当たります。about:home では、初期値で [検索ボックス] にフォーカスが当たるようになってるからです。

（補足）
以前は、[新しいタブ] で開く URL を about:config からユーザーが任意に指定でき、[新しいタブを開く] ボタンや [Ctrl] + [T] を実行したとき、そのページを開くことができました。
しかし、セキュリティ上の理由でこの機能は 41.0 から廃止されました。現在の Firefox の標準状態では、[新しいタブ] は固定された about:newtab （タイルが並んだもの）でしか開けません。以前の動作を実現するには、上述のようなアドオンの助けが必要になります。


ご存知かもしれませんが、次のような代替方法も使えます。

Firefox のロケーションバー（アドレスバー）に URL 以外の文字列を入力して実行すれば、既定の検索エンジンを使って Web 検索を実行してくれます。この機能は初期状態で有効になっていて、[新しいタブ] を開いた直後のロケーションバーには、「URL または検索語句を入力します」という薄い文字が表示されているはずです。
例えば、"モジラ" とか "Firefox" とか入力して [Enter] キーを押してみてください。そのキーワードの検索結果のページが開くはずです。
（参考）・ロケーションバーで検索する | Firefox ヘルプ
https://support.mozilla.org/ja/kb/searc ... ddress-bar

つまり、[新しいタブ] を開いた直後にフォーカスが当たっているロケーションバーから検索できるので、必ずしも能率が落ちるわけではありません。ちなみに、Google Chrome 系ブラウザでは、このような手順が標準です。

（注意）
URL に含まれるような紛らわしい文字列を検索した場合、Web ページとしてアクセスを試みることがあります。
例： 単語として "Google.co.jp" を検索しようとロケーションバーから実行した場合、ドメイン補完を実行して Web アクセスがおこなわれ、"https://www.google.co.jp/ " のトップページが開かれます。


ご承知のこととは思いますが、利便性と安全性など、複数の要素のうち何を最優先したいかで対処方法も変わってきます。ある要素や条件を優先するためには、他の要素や条件を犠牲にしなければならないケースも出てきます。
そのあたりのバランスを考慮して、ご自身が納得のいく方法を編み出してください。

とりあえず以上です。的外れだったらすみません。

_________________
Mozilla/5.0 (Windows NT 6.2; WOW64; rv:42.0) Gecko/20100101 Firefox/42.0

偶然的通行人様
非常に詳細なアドバイスをいただき、ありがとうございます。
実は、Firefox43のbeta版ではロケーションバーの検索エンジンでサジェストが効くようになっているようでして、この機能が実装された状態でリリースされれば、私の希望は一度に解決するようです。
このリリースを待ちながら、アドバイスに従って使用していこうと思います。
ありがとうございました。

_________________
Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; WOW64; rv:42.0) Gecko/20100101 Firefox/42.0