横から失礼します。
（前置き）
すでに pal さんからご指摘がありますが、Linux のディストリビューションには、固有のパッケージ版の Firefox が同梱されていたりします。
これらは、それぞれのディストリビューション向けに最適化・カスタマイズされている部分があるので、そういう部分については Mozilla 公式の Firefox とは異なる対処が必要な場合があります。このことは、ディストリビューション固有の Firefox を使う場合の前提条件です。
一方、固有の要素以外は公式の Firefox と同等に扱える部分が多いのもたしかなので、公式のヘルプ記事などで参考にできることはたくさんあります。
（本題）
Mozilla Firefox for Linux Mint の詳細は存じ上げませんが、文面を拝見する限りで気がつくこととしては、"以下のリンクで「Google」を追加いたしました" とおっしゃっている Google の検索エンジン（検索プラグイン）が、単純にサジェスト機能を持っていないだけではないでしょうか？
最もシンプルな構成の検索エンジンは、入力された検索キーワードを対象の検索サーバーに投げるだけの役割しか持っていないものがあります（関連後述）。
Mozilla 公式の Firefox では、初期状態で同梱されておらず後からユーザーが任意で追加した検索エンジンは、プロファイル配下の searchplugins というフォルダ内に入ります。xml 形式のファイルです。
Linux Mint 用の Firefox もおそらく同様でしょうから、まずは追加なさった "Google の検索エンジン" というものの中身を確認なさってはいかがでしょうか。
テキストエディタで開けば中身を確認できます。その "Google の検索エンジン" 内に suggest の単語を含むソースがまったくないのなら、十中八九、サジェスト機能がついていません。
この場合は、
（a）その検索エンジンに自前でサジェスト機能を実現するソースを追加する
（b）最初からサジェスト機能付きの Google 検索エンジンを追加する
―― のどちらかで対処できると思います。
Linux Mint 以外に Windows や Mac などをお使いであれば、それらに同梱されている検索エンジンを流用することも可能でしょうし、サジェスト機能のある検索エンジンを参考にして、自身が望むソースを追記することも可能でしょう。
手前みそですが、Google のロゴが刷新されたときに、新しいアイコンに差し替えた検索エンジンを自分用に自作したものがあります。
他人から見れば、ぼくはどこの馬の骨ともしれない人物なので信用できないという判断もあろうかと思いますが、もし信用してくださるなら、その検索エンジンをお使いになってもかまいません。常用しないまでも、"以下のリンクで「Google」を追加" したものとの比較はできるでしょう。
（参考）・検索エンジンのファビコンについての小ネタ
viewtopic.php?t=13657&p=55905#p55905一方、"Google の検索エンジン" にサジェスト機能がついていることは確実なのに、それが働かないのだとしたら、もっと細かな点検作業が必要かもしれません。
（補足）
ご承知かとは思いますが、検索エンジンのサジェスト機能は、１文字でも入力するたびに検索サイトにアクセスが発生し、検索サイトから結果を受け取ることで表示されます。このアクセスはバックグラウンドでおこなわれるため、表面上はユーザーの目に見えません。（Firefox をオフラインにして検索バーに文字を入力してみると違いがわかると思います。）
過去の膨大な検索結果をベースに、入力した文字列から該当しそうな検索キーワードを提案（suggest）してくれる機能は便利ですが、誤入力などを含めて入力のたびに機械的にその文字列をサーバーに送信し、その結果を解析したサジェストを受け取る、という動作を嫌うユーザーもそれなりにいます。そのため、サジェスト機能のない検索エンジンが存在するのだと思います。
とりあえず以上です。的外れな話だったらすみません。
（余談）
もしもマルチポストなら、回答のつかなかったフォーラムにも事後報告のフォローアップをよろしくお願いいたします。
（参考）・マルチポスト - Wikipedia
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E ... 9%E3%83%88
ログイン
ユーザー登録
FAQ
検索
