どこかのサイトが提供している Web メールの表示に問題が起こるということですか？
起こっている現象だけが書かれた現状の情報では、ストレートな解決策をお示しすることは難しいと思います。
一般的に表示がおかしくなる原因は、大別して２つの方向があります。
（A）Firefox 側に問題がある。
（B）Web メールサービスの側に問題がある。
（A）の場合、Firefox 本体、導入しているアドオン（拡張機能やテーマ、プラグイン）などが点検対象になります。
さしあたりは、次の公式サポート記事を参考に、基本的なトラブルシューティングを試すことになるでしょう。
（参考）・基本的なトラブルシューティング
https://support.mozilla.org/ja/kb/troub ... x-problems比較的単純なのは、導入しているアドオン（拡張機能）のいずれかが Firefox 40.0 に十分対応しておらず、それが表示の阻害という形で現れているようなケースです。
合わせて、次のような情報にも目を通してみてください。
Web メールを提供しているサイト側の仕様がわかれば、Firefox 40.0 での変更点とすり合わせすることで、どこに問題があるかを絞り込めるかもしれません。
（参考）・Firefox 40 サイト互換性情報 - Mozilla | MDN
https://developer.mozilla.org/ja/Firefo ... patibility（B）の場合、Web メールサービス側の仕様変更などが、特定のブラウザに影響を及ぼすことがあります。
その Web メールサービスのアナウンスなどにも注意を払ってみてください。
とりわけ、その Web メールサービスが推奨ブラウザ（サポート対象ブラウザ）としているのが "Internet Explorer だけ" というような場合は注意してください。
Firefox などサポート対象外のブラウザでも不都合なく動作することもありますが、Firefox のバージョンが上がって仕様変更などがあったとき、これまでとくに問題なく使えていたサービスが正常に使えなくなることがあります。これは、Web メールサービスの側が、対象外ブラウザの更新状況を考慮していないことに由来します。
その Web メールサービスが、Firefox もサポート対象になっていることが明白なら、さしあたりは（A）を重点的にチェックしていくことになろうかと思います。
お使いの Web メールが、「Yahoo! メール」のように一般に知られたものなら、どこの Webメールかを具体的にお示しくださると、同じサービスを利用している Firefox ユーザーさんから情報が寄せられるかもしれません。
会社や学校などの非公開なサービスなら、第三者にはサービスの詳細な仕様がわからないので、適切なアドバイスは困難だと思います。そのサービスのサポート窓口にお尋ねになってください。
いまの時点で申し上げられるのは以上です。役に立たない話だったらすみません。
（補足）
Firefox は、Web 標準への準拠が目標になっているので、原則として仕様変更はその目標に近づくようにおこなわれます。
こうした変更の結果、Firefox 自体の動作（Web ページを表示するための動作を含めて）が変わることがあります。
例えば Firefox 40.0 については、input 要素の描画が変わったようで、Web ページの表示に影響が出るケースがあるようです。
（参考）・Firefox/Fennec Nightly Builds井戸端会議室2
viewtopic.php?t=14561&p=55734#p55734
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