まず基本的な事についていくつか確認したいと思います。
１、現在主に使用されている Firefox、およびテストで使用された Firefox は
どちらからダウンロードされたものですか？
偶然的通行人さんがお書きになったように、法人で利用されているカスタムバージョンである場合、
それを考慮した上で問題の所在を考える必要があります。
（その場合むしろ、ここで聞くのではなく、その提供元に直接尋ねた方が良いでしょう）
２、Firefox のいくつかのバージョンについて動作を確認されたようですが、
その際プロファイルは既存の同じものを使われましたか？
それとも別々ですか？
３、「データ表示画面」とは何のことですか？
社内のユーザがその画面を Firefox で見て、Java のプラグインが無ければ
それをインストールするための、社内用のウェブページの事ですか？
それともその画面は一般の人からも見れて、動作確認する事ができるものですか？
また、問題の切り分けのためのテストケースを作成しましたので、その結果を教えてください。
{準備}
以下の内容のみの HTML ファイルを作成し、これを a.html としてローカルに保存します。
コード: <EMBED
type="application/x-java-applet;version=1.2.2"
pluginspage="http://localhost/ibm-java-jre-60-win-i386.exe">
</EMBED>
（余談ですが、これは JavaScript ではなく Java アプレットを使用するための HTML です）
{テスト A: オンラインの場合、既存のプロファイル}
A-1. ネットワークが繋がった状態で、現在ご利用中のプロファイルを使用して Firefox ESR 31.2.0 を起動します。
A-2. 上記 a.html を表示します。
A-3. ロケーションバーの隣のアイコンから「Java をインストール」のボタンを押します。
A-4. 「プラグイン検索サービス」のダイアログには「プラグインのダウンロード」「以下のプラグインが利用できます。」として「Java Runtime Environment」が表示される事を確認します。
A-5. 「次へ」をクリックします。
A-6. 「プラグインはインストールされませんでした。」「Java Runtime Environment 利用できません」と表示され、隣に「手動インストール」のボタンが表示される事を確認します。
{テスト B: オンラインの場合、新規プロファイル}
B-1. ネットワークが繋がった状態で、新規プロファイルを使用して Firefox ESR 31.2.0 を起動します。
(ここから先は A と同じです)
B-2. 上記 a.html を表示します。
B-3. ロケーションバーの隣のアイコンから「Java をインストール」のボタンを押します。
B-4. 「プラグイン検索サービス」のダイアログには「プラグインのダウンロード」「以下のプラグインが利用できます。」として「Java Runtime Environment」が表示される事を確認します。
B-5. 「次へ」をクリックします。
B-6. 「プラグインはインストールされませんでした。」「Java Runtime Environment 利用できません」と表示され、隣に「手動インストール」のボタンが表示される事を確認します。
{テスト C: オフラインの場合、新規プロファイル}
C-1. 全てのネットワークを遮断した上で、新規プロファイルにて Firefox 31.2.0 を起動します。
C-2. 上記 a.html を表示します。
C-3. ロケーションバーの隣のアイコンから「Java をインストール」のボタンを押します。
C-4. 「プラグイン検索サービス」のダイアログに「プラグイン検索サービスの完了」「適切なプラグインが見つかりませんでした。」と表示される事を確認します。
（これはプラグイン検索サービス pfs.mozilla.org に接続できなかったためです。）
{結果からの診断}
まずは全ての結果をここに書いて頂く必要がありますが、それらから以下の事が分かります。
（以下、「成功」「失敗」と書いているのは、手順どおりの操作が行えて、書いてある通りの結果が得られたら「成功」、少しでも違えば「失敗」です）
・テスト A が成功した場合、「データ表示画面」の問題です。（そのサーバや URL、または HTML で省略された部分等）
・テスト A が失敗し、テスト B が成功した場合、ご利用中のプロファイルの問題です。
・テスト A および B が失敗し、C-4 のように「適切なプラグインが見つかりませんでした。」と表示されるようでしたら、Firefox のデフォルトのプロファイルへの何らかの変更 (プラグイン等) か、OS やセキュリティ／権限関連のソフトウェア、または社内ネットワークの構成による問題です。
・テスト B が失敗し、テスト C が成功するが、テスト B とテスト C で結果が少しでも違う場合、ネットワーク以外の部分にも問題がある可能性が高いでしょう。
（いずれも「データ表示画面」に問題が無い事を保証するものではありませんので、そちらのテストは後で別途行ってください）
尚、Firefox のプロファイル以外の、例えば社内ネットワーク等の問題である場合、
ここで解決しようとするなら、更に様々な情報を正確に公開していただく必要があるかもしれませんが、それについては大丈夫ですか？
（ここは一般の人が自由に見る事のできるサイトです）
ところで、Question さんのコメントの中で何度か「手動ダウンロードボタンはありません」や
「ダウンロードと実行できませんでした」のように書かれていますが、上記 C-4 の表示の事ですか？
画面にメッセージが表示されたら、それを、そのまま、正確に伝えてください。メッセージには意味があります。
その内容に自分なりの解釈、簡略化を加えて伝えると、情報の正確性を損ね、解決への障害となります。
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