事象が再現し始めたのは２０１４年１月からです。

【事象再現手順】
Office365の「Outlook Web App」というWEBメーラーで本文入力中に発生します。
たとえば、「にほんご」と入力し変換を行った後Enterを押下すると「日本後日本後」と記入されてしまいます。
この事象は別ブラウザでは発生致しません。

他にも行った対策について記載させて頂きます。
・Firefoxの再インストール（最新版の27をインストール）　→　再現
・Firefoxのプロファイル削除　→　再現
・Firefoxのセーフモード起動　→　再現

Firefox ＋ Outlook Web App ＋ ATOK の組み合わせは２０１２年１０月から行っておりますが、
事象が再現し始めたのは２０１４年１月からです。

Firefox + ATOK 環境であっても、「Outlook Web App」を使わない場面での日本語変換には、問題は起こっていないのでしょうか？
例えば、検索サイトで検索文字列を入力するようなときとか、こうしたフォーラムや掲示板への投稿文を入力するようなケースのことです。

他にも行った対策について記載させて頂きます。
・Firefoxの再インストール（最新版の27をインストール）　→　再現
・Firefoxのプロファイル削除　→　再現
・Firefoxのセーフモード起動　→　再現

この結果を見る限りでは、Firefox 本体に内在する何かが問題になっているような印象ですね。
以前はこの問題が起こっていなかったのなら、正常に変換できたいた時期の旧バージョンを入れた場合はどうなりますか？
（参考）以前のバージョンの Firefox をインストールするには
https://support.mozilla.org/ja/kb/insta ... of-firefox

明らかに「２０１４年１月から」起こりだした症状だとすると、その時期に導入または更新された別の何者かが影響している可能性も否定できないと思います。
根拠はまったくありませんが、時期的な点だけに着目して申し上げますと、Firefox にも影響しそうなメジャーな要素として 1 月 14 日ごろに Flash Player の新バージョン（Firefox 用は 12.0.0.43）がリリースされています。
プラグインはシステムにインストールされて Firefox と連携をとるものなので、Firefox を再インストールしても別バージョンを使っても、「セーフモード」や「新規プロファイル」で起動しても、影響を排除できません。
プラグインの影響を排除して動作テストするためには、Firefox 上で明示的に無効化するか、システムからアンインストールするしかありません。

ほぼ同じ時期に、定例の Windows Update が公開されています。
ロールバックした環境でテストしてみると、その影響があるかどうか、はっきりするのではないでしょうか。

事象が発生した時期（１月）の時は、Ver24.1でした。

また、この事象はGoogle IMEでも発生します。
しかし、Microsoft IMEだと発生しません。

Microsoft Office365のサポートからは「Microsoft IME」では発生しないためサポートが難しいといわれ、

24.1が出たのは昨年10月末です。
http://www.mozilla.jp/firefox/24.1.0/releasenotes/
それ以来、24.1をご利用だったのでしょうか？
ずっと使っていて、1月になったら不具合が出た、と言うことなら、Firefoxが原因であることは考え難いと思います。
いつからお使いですか？

そういうことなら、Office365と他社製IME(ATOK)との連携の不具合の可能性が大ですね。
Microsoftが心を入れ替えて、他社製品との連携を改善するか、他社製品が頑固なMSに合わせるように改修するかしか、解決策はないと思います。

全体的に見れば、Firefoxの非である可能性はほぼゼロですね。