※質問するときは、フォーラムの利用に関するご案内 、とりわけ 質問するときは に目を通し、OS の種類や Firefoxのバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。横から失礼します。
すでに Cai さんからご助言があるように、いつごろ、どんな形式・内容のエラーメッセージ（あるいは警告メッセージ）が出ていたのかがわからないと、本当のところは誰にも答えられないと思います。
それだけではアレなので、参考になるかもしれないことを、いくつか書いておきます。
一般に、
「エラーメッセージ」は、いままさに発生している問題（エラー）をユーザーに通告し、対応を促します。
「警告メッセージ」は、具体的な問題が起こったわけではないが、この先問題を引き起こすかもしれない状況にあることを、ユーザーに通知します。
深刻度としては、「エラーメッセージ」（赤信号）＞「警告メッセージ」（黄色信号）、といった感じです。
Web ページから実行されるスクリプトや Web アプリにエラーが起これば、「エラーメッセージ」が表示されることもありますが、「エラーメッセージ」を表示しないようにするオプションは普通はないと思うので、「うるさくて表示しないに？チェック入れた」のであれば、何らかの「警告メッセージ」だった可能性が高いと思います。
通常、"Web ページを表示したとき" のタイミングで出ることが多いのは、セキュリティ関連の「警告メッセージ」や、サイト側のスクリプトによるポップアップでしょうか。
「自身のサイト」とのことなのでサイト側で設定されたポップアップは除外するとして、「警告メッセージ」を出す主体には次のようなものがあります。
（a）Firefox 本体
（b）セキュリティ対策ソフト（その一部としての関連ツールバー）
（c）上記以外の何者か
仮に、（b）や（c）が出していたものなら、Firefox をいくらいじってもご希望はかないません。
一方、Firefox 側でいえば、セキュリティ警告の機能にはこれまでも修正・変更がおこなわれてきましたが、とくにバージョン 19.0 以降、従来あったセキュリティ警告の設定がまとめて削除されました。
ようするに、Web 全体の進歩と変化、およびそれに対応した Firefox の機能強化・改善により、かつて Firefox が出していた警告機能は時代遅れになったので削除した、ということらしいですね。
もし、ご質問の「エラー表示」が Firefox のセキュリティ警告（security.warn_*）のことであれば、前バージョンの 21.0 や現行バージョンの 22.0では、警告メッセージは出ないようになっているはずですから、確認のしようはないと思います。
どうしてもこの内容をもう一度見たいということであれば、ESR 版の 17.0.7 を使うことでご希望はかなうと思います。
（いまお使いの Firefox が 21.0 や 22.0 だと、17.0.7 を入れるのはダウングレードになります。現在のプロファイルは使わず、新しく 17.0.7 用のプロファイルを作ってご試用なさることをお勧めします。あるいは、ポータブル版の Firefox 17.0.* を利用するという手もあります。）
しかし、上述のセキュリティ警告ではない別の警告メッセージ（あるいはエラーメッセージ）の話でしたら、その具体的な内容がわからないと何とも申し上げられません。
とりあえず以上です。的外れだったらすみません。
（補足）
削除されたセキュリティ警告（security.warn_*）は、文字通り「警告」を出すだけの機能であり、しかもその意味を理解しないまま単に "わずらわしい" としてユーザーが非表示にすることもできたので、本当に必要な場面で警告が機能しないなどの弱点がありました。
Firefox は内部的なセキュリティを強化しており、ユーザーへの通知という点では、警告ダイアログではなくロケーションバーのアイコンの変化などで明示的にセキュリティの状態を表示する方向に変わってきています（そして、この先もいろいろ改良されると思われます）。
新しい機能やその動作がすべてのユーザーにとって使いやすいかどうかはともかく、セキュリティ警告がなくなったからといって安全性がないがしろにされているわけではありませんので、念のために補足しておきます。
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