横から失礼します。
本件は、Firefox 側と Windows OS 側の問題が混在しているように思えます。
さしあたって整理をつけるため、次の２つの視点を切り分けて考えたほうがいいのではないでしょうか？
（A）インターネットショートカットの生成時の問題
IDN（Internationalized Domain Name）による日本語ドメイン名を含む URL の処理の問題
（B）インターネットショートカットを開く際の問題
生成されたインターネットショートカットを開く方法により、正常に開けたりエラーになったりすることの問題
（A）について、
（I）「network.IDN_show_punycode;false / 初期値」の状態の Firefox から生成する日本語ドメイン名のインターネットショートカットは、URL の記述が不正常になってしまう。
（II）「network.IDN_show_punycode;true / ユーザー設定」の状態の Firefox では、Punycode に変換された URL がインターネットショートカットに正しく記述される。ただし、ユーザー環境や操作手順に依存する可能性あり。
―― と区別してみると、
（I）は、Firefox が日本語ドメイン名の処理を適切におこなえていない可能性が考えられます。
この件については、ぼくも原因や対処方法を知りません。about:config などから扱えるユーザー設定では対処できない類の問題かもしれません。
（II）は、Punycode 化された URL なら Firefox は、通常の URL と同様に問題なく処理できているはずです。
ただし、同じ Web ページに対して、（I）での動作を試した後、（II）に切り替えてインターネットショートカットを生成させたような場合、（B）の挙動がご質問のような状況になる可能性はあると思います（後述）。
こちらは、おそらく Windows OS 側の問題（仕様？）だと思います。
（B）については、
このフォーラムでも次のトピックにリプライしたことがあるのですが、生成されたインターネットショートカット（.url）において、
（a）右クリックからプロパティを開き、[Web ドキュメント] の [URL] に表示される URL
（b）テキストエディタで開き、[InternetShortcut] の URL= に記されている URL
―― この２つが異なってしまうケースがあります。日本語をまったく含まない ASCII オンリーの URL でも起こります。
（関連トピック）
・インターネットショートカットが上書きされない
http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?t=13790
（参考）
・インターネットショートカットのリンク先が勝手に変わる
http://social.technet.microsoft.com/Forums/en-US/47dd33f3-4d27-46ce-9aff-ade4ff8df07f
（a）（b）が乖離した状態になると、インターネットショートカットを開く方法により、結果が変わってきます。
インターネットショートカットを、
（c）ダブルクリックまたは右クリックから [開く] を実行した場合は（a）が、
（d）ドラッグ＆ドロップで Firefox に渡した場合は（b）が、
それぞれ参照されているような結果になります。
とーすと さんが書きました:
ドラッグで開く場合はOKですが、ダブルクリックで開く場合はNGです。
という状況が起こるとしたら、上記（a）（b）の記述が異なるようなインターネットショートカットが生成されているのかもしれません。
（以下、文中の URL は、自動的なリンク生成を避けるためプロトコル部分を全角コロンにしています。）
ご質問のケースから粗筋をなぞってみると、
（F）まず、「network.IDN_show_punycode; false / 初期値」の状態で
http：//日本語.jp/
にアクセスすると、ロケーションバーにはそのままの URL が表示され、デスクトップへのドラッグ＆ドロップでそのページのインターネットショートカット（x）を生成させると、そのままの URL を書き出そうとして文字化けを起こしてしまったような結果になります。（みなさんのご報告どおり。）
結果的に、（c）（d）どちらの開き方でも、インターネットショートカット（x）を正しく開くことはできません。
（S）引き続き、「network.IDN_show_punycode; true / ユーザー設定」の状態に切り替えて
http：//日本語.jp/
にアクセスすると、ロケーションバーには
http：//xn--wgv71a119e.jp/
のように Punycode で表示されます。
同じようにデスクトップにドラッグ＆ドロップすると、インターネットショートカット（y）が生成されますが、（a）が（F）で文字化けした日本語ドメイン名のままになっていて、（b）は Punycode の URL が適正に記述された状態になっているのではないでしょうか。
この結果、「ドラッグで開く場合はOKですが、ダブルクリックで開く場合はNG」の状況が起こるのではと想像します。
この状況は、
・インターネットショートカット（x）をデスクトップから削除してから（y）を書き出す
・インターネットショートカット（x）をデスクトップに残したまま（y）で上書きする
のどちらであっても起こるはずです。
とりあえずの修正方法ですが、デスクトップに生成された（y）を、
・別のディレクトリに移動させる。
・ファイル名を変更する
といった操作をおこなうと、（a）が自動的に正しい値（Punycode）に書き換わり、（c）（d）のどちらでも適正に開けるようになると思います。
あるいは（y）の生成時に、
・インターネットショートカット（x）を作ったのとは別のディレクトリに作る
・同一ディレクトリであってもインターネットショートカット名を（x）とは異なるものにする（要アドオン）
といった方法でも、最初の日本語ドメイン名で起こった不適切な情報の影響を受けないインターネットショートカットが作れると思います。
もしくは、（F）と（S）の間で PC を再起動するか、PC の起動後（F）を一度も実行しないで（S）から実行した場合でも、（y）は Punycode による適正なインターネットショートカットになると思います。
いずれにしても、同一ディレクトリへの同一ファイル名でのインターネットショートカットの生成は、先に作ったものの情報の一部を、後から作ったものが引き継いでしまうようで、ここに起因してユーザーが意図しない不可解な動作が起こるケースがあるようです。
この挙動は、Firefox 以外のブラウザでも発生していますから、Windows OS 側の要因なのだと思われます。
少なくとも（I）の文字化けは Firefox 側でなんとか改善できないものかと思いますけど、現状ではインターネットショートカットの制約を飲み込んで、ユーザーが運用で回避するしかないのかもしれませんね。
（ロケーションバーには IDN で表示し、インターネットショートカットの書き出しには Punycode に変換するという Google Chrome のような方式が、ブラウザ上での URL の理解のしやすさと、インターネットショートカットを開く際の確実性が両立していて、個人的には好ましいと思うんですが......。）
以上、根本的な解決策ではなく申し訳ありませんが、ぼくが経験的に知っていることを述べさせていただきました。
的外れな話だったらすみません。
【おことわり】
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仕方ないので、「URL を自動的にパースしない」の設定で投稿しています。ご容赦ください。
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