Ｆirefox21に更新したところ
サイトを表示した時にｗｅｂ開発ツールが表示されます。
ｗｅｂ開発ツールのチェックを外しても表示します。

ご対応よろしくお願い致します。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:21.0) Gecko/20100101 Firefox/21.0

まずは以下ご確認を。

設定が保存されない (Mozillaサポート)

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[Desktop] Windows 10 pro (64bit) / 16GB RAM

Firefoxの設定リセットを実行、
アンインストールをして再度インストールをしましたが
事象は解消されませんでした。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 5.1; rv:21.0) Gecko/20100101 Firefox/21.0

※質問するときは、フォーラムの利用に関するご案内 、とりわけ 質問するときは に目を通し、OS の種類や Firefox のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。

横から失礼します。

Firefox に組み込まれた標準の Web 開発ツール（devtools）は、自動表示されるようにはなっておらず、これらのツールを使うにはユーザーの明示的な操作が必要だったはずです。
（ちなみに、当方は Windows XP SP3 + Firefox 21.0 の環境ですが、ご質問のような現象にはいっさい遭遇していません。）

それが、であれば、どこかに異常が起こっていると考えるのが順当でしょう。
Web 開発ツールが勝手に表示されるのが特定のサイトに限られるのなら、そのサイト側にも何らかの要因が潜んでいるかもしれません。

一方、似たような開発ツール・アドオンに Firebug があり、こちらは「すべての Web ページでオン」（すべての Web ページで Firebug をデフォルトでアクティブ化する）といった一連の設定があり、これが有効になっていると、どのページを開いても、ブランクページであっても、Firebug の開発ツールが自動的に表示されるようにできたはずですから、ユーザーが自覚しないままご質問のような現象が起こる可能性はありえます。

しかし、が間違いなくできているなら、先の更新時に Firefox 標準の Web 開発ツールに問題が起こっていたとしても、リセットと再インストールで初期状態に戻るはずなので、問題が解消されないのはちょっと解せません。
（アンインストール後、インストールフォルダ内の残骸も消し去った上で再インストールされましたよね？）

仮にアドオンの Firebug が入っていたとしても、リセットによって削除されているはずですから、バックアップされたリセット前の古いプロファイルから、リセット後の新しいプロファイルに、ユーザーが extensions フォルダや pref.js その他を書き戻していない限り、リセット後のプロファイルで Firebug が自動的に表示されることはないはずです。

kazunori さんのところの具体的な状態がわからないので断言はできませんが、プロファイルのリセットや再インストールでも改善されないのであれば、別の何かが干渉しているか、そもそも Web 開発ツールとおっしゃっているものが、Firefox 標準のものではない別物の何かであるのかもしれません。

「サイトを表示した時にｗｅｂ開発ツールが表示されます」とおっしゃっているのは、具体的にどのようなものが、どういう状態で、どの位置に表示されるのでしょうか？

Firefox 21.0 での Web 開発ツールは、初期状態ではコンテンツエリアの下部に表示され、バーには左から、
[Web コンソール] - [デバッガ] - [調査] - [スタイルエディタ] - [プロファイラ]
といったツールのボタンが並んでいて、右のほうには
[3D ビュー] - [スクラッチパッド] - [レスポンシブデザインモード] - [ウィンドウ表示] - [開発ツールを閉じる]
のアイコンが並んでいます。

ストレートな解決策でなく申し訳ありませんが、とりあえず気がつく点をコメントさせていただきました。的外れだったらすみません。

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私のほうでも同じ現象が発生していて困っていました。
リセットしてもアドオンを何も入れていないにも拘らず同じ状態を維持していましたが
管理者として起動してみたところ現象が現れませんでした。
とりあえず、今日から数日様子を見てみることにします。

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Mozilla/5.0 (Windows NT 6.0; rv:21.0) Gecko/20100101 Firefox/21.0

とりあえず、使ってみた感じ。
管理者として実行すると程度の差ですが多少緩和された反応になりましたが根本的な解決にはなりえなかったです。
ツールが一定間隔で表示されるのは、まだ我慢できるのですが「ビッ」と鳴る音が耳に届く毎に怒りというかイライラがこみ上げて仕方なかったので根本的な解決策を探した結果解消したので報告。
・とりあえずアドオン関連ファイルが作動して無いようにPC再起動。
・Firefoxアンインストール
（アンインストール時インストールフォルダ内の残骸だけでは不十分なので、geek等のアンインストール支援ソフト？を使用し隠しファイル等も徹底的に削除。）
・Firefoxインストール
以上で起動すると問題解決。
（面倒なので試していませんが、原因が微妙に此処に有りそうな気がするので別VerのFireFox設定の引き継ぎは辞める。アドオンによる設定の引き継ぎも勿論辞める。）
後はアドオン導入など御好きにカスタマイズして下さい。

以上で解決できなかったらお手上げ(*´Д｀)

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あ、設定の引き継ぎだけが怪しいのでしないで下さいと言うのであって
ブックマークなどは関係ないので引き継いでも問題ないと思います。
というか、問題なかったし(*´Д｀)ノ

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