※質問するときは、フォーラムの利用に関するご案内 、とりわけ 質問するときは に目を通し、OS の種類や Firefox のバージョンといった使用環境についての最低限の情報を書き添えることをお勧めします。
横から失礼します。
お困りとは思いますが、ご利用環境の諸条件がわからないと、的を絞ったアドバイスは難しいと思います。
aides さんからもアドバイスされていますが、次のことはわかりますか。
・どのような OS を使っているか
Windows 7 / Vista / XP とか、Mac OS X 10.7 / 10.6 / 10.5 とか、Ubuntu などの Linux 系 とか
・使っている日本語変換プログラムの種類
MS-IME 2010 / 2007 とか、ATOK とか、 ことえり とか
・Firefox のバージョン
12.0 とか、10.0.4 ESR とか、3.6.28 とか
・どんなアプリケーションで日本語のかな漢字変換が機能しなくなるか
Firefox のみ起こる、メールソフトやワープロソフトなどでも起こる
・どんなサイトで日本語のかな漢字変換ができなくなるか
例外なくすべて、特定のサイトのフォーム、Flash コンテンツ など
Firefox 側を点検するら、まずは下記を参考にしてみてください。
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基本的なトラブルシューティング
日本語変換プログラムの問題としては、Windows でときどき起こる事例について、Microsoft のサポート記事を紹介しておきます。
http://support.microsoft.com/kb/2644623/ja
Mac などの場合、Windows でも上記の事例に当てはまらない場合は、たいへんかもしれませんが、もう少し詳しい情報を書いていただくと、同じような利用環境のユーザーさんから、アドバイスが寄せられるかもしれません。
ストレートな解決策ではありませんが、とりあえず以上です。的外れだったらすみません。