Fire Foxの↑の違いは何なんでしょうか？

極端に言えばIE5とIE6（もしくは、IE6とIE7）の違いのようなものです。

一般の人にはわかりにくいですが、
Firefox 1.5 の主な変更点 - えむもじら
http://level.s69.xrea.com/mozilla/index ... 3_WhatsNew

いずれにせよ、1.0系を使う理由は無いので、問答無用で1.5を使ってください。

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えむもじら

そんな乱暴な。
1.5系に対応していない拡張機能や対応していると言っているが正しく動かないものがあります。

1.5がリリースされて5ヶ月経とうとしているにも関わらず対応できていないのならば、もともと対応する気がないのでしょう。
1.0系列は今年中に予定されている2.0のリリースと同時にサポート終了ですので、セキュリティ的にもお勧めできません。
（今回の1.0.8が最終のはずです）

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[Desktop] Windows 10 Pro 22H2 (64bit) / Intel Core i7-2600 / Nvidia GeForce GTX 1650 GDDR6 / 32 GB Memory
[Laptop] Windows 10 Pro 22H2 (64bit) / Intel Core i5-520M vPro / Intel HD Graphics / 8 GB Memory
[Android] Android 13.0 (arm64) / Xperia 5 III (XQ-BQ42)
常用環境: Firefox ベータ版、リリース版 (Win64 x86-64, Android), Thunderbird ベータ版、リリース版 (Win64 x86-64)
テスト環境: Firefox (ESR, Nightly, Win64 x86-64, Android)
Cai/1.0 (Homo sapiens; N; Homo sapiens chemist; male; rv:0.0.4.1+)
-- いつまでたっても nightly

1.5系には、まだ問題が多いようです。

例えば、「ツール」→「ページの情報」→「メディア」で、埋め込みオブジェクトの完全なURLが表示されず、「名前を付けて保存」で保存できません。

また、特定の環境で不具合が出ることも多いようです。

それ以外にも、特定のサイトでCPU負荷率が異常に高くなるなどの問題もあります。

現時点では、一概に「1.5系に移行すべき」とは言えないと思います。

特定の環境での不具合や、特定のサイトでCPU負荷率が高くなる現象なら1.0.xでも起こったはず。
1.5系では1.0.xのときより安定性が向上し、特に拡張機能を大量に使っている場合は結構変わってくるので、何か重要な理由がないなら移行したほうがいいでしょう。
まぁプロファイルを作り直すのが面倒ですが。