お世話になります。
GoogleアカウントでGmail以外すべてログインできるのに
Gmailだけログインできません。

firefox3.6および4を使用して、各WEB上のリンクをクリックした時
別ウィンドウになってしまう。
（ツールからの設定でタブ表示設定にしてるのに・・・・）
よろしくお願いいたします。

セーフモードや新規profile適応では問題は再現しますか？
新規ウィンドウの問題とタブの問題がログインとどう関連付けされるのかも疑問です。
Gmailからのcookieは正常に受け付けてますか？

又書き込まれた内容から判断すると「mailto」の問題とも受け取れますが如何でしょうか？

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

　
＊質問・投稿する前に フォーラムの利用について を読むのをお勧めします。
＊環境として OS の種類、Firefox の正確なバージョンぐらいは書き添えましょう。
＊質問した後やアドバイスをもらった後には結果や経緯を必ず書くようにしましょう。


ログインできない一般的な対処は以下です。
改善されるか試して確認してみましょう。
Web サイトにログインできない | トラブルシューティング | Firefox ヘルプ

次にタブブラウズについては以下にガイドヘルプがあります。
またリンクを開く挙動に関連したアドオンやスクリプトを入れている場合はその設定も確認して
みましょう。
タブブラウズ | 操作方法 | Firefox ヘルプ

上記でも改善が見られない場合は以下のトラブルシューティングをおこなってみましょう。
基本的なトラブルシューティング | トラブルシューティング | Firefox ヘルプ
　
　
＃製品名は firefox ではなく Firefox です。