環境：
Firefox 3.6
FlashPlayer 10.2

上記環境で、FlexアプリのTextInputで日本語を入力する場合、入力カーソルが別の位置に現れつ不具合があります。
Firefoxのバージョンを 3.5に戻して同じ動作を行ったところ、問題なく入力できました。

IE, クロームでも問題なく動作しましたので、3.6だけの問題だと思われますが、現在関連不具合に関するパッチや回避策などがあれば教えてください。

肝心のOSの環境が全く書かれていないので断言はできないですが、推測するに、Windows版ですよね?

もしそうならOOPPが原因で、現状ではバグではなく仕様です。WindowsではIMEのコンテキストはプロセスをまたいでアクセスできないので、Adobe Readerのような自前ウインドウをプラグイン自ら生成するようなプラグイン以外ではインラインで未確定文字列を表示することは不可能になっています。

OOPPを切れば元に戻せますが、プラグインのクラッシュに本体が巻き込まれる状態に戻りますのでそのへんは自己責任で。

ロケーションバーに、about:configと打ち込んで、設定画面を表示して、dom.ipc.plugins.enabled.npswf32.dllという設定項目を探し、これをfalseにすると、FlashのOOPPのみが解除されます(要再起動)。