バージョンアップの更新をしようとしましたが「更新の権限がないので管理者に問い合わせるか……」となり更新ができません。ですがアカウントを確認すると「管理者」になっています。またほかのアプリケーション（iTunes）はちゃんと更新ができました。
　私の使用環境は
MacOS10.6.4
Firefoxバージョン3.6.3
です。おわかりになる方のご指導お待ちしております。

Macについては詳細不明ですが、http://mozilla.jp/firefox/ から最新版をダウンロードしてインストールすらも出来ないのでしょうか？

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＊Windows 10 21H1 64bit/＊GoogleJapaneseInput：ATOK2017：MS-IME
Firefox 95.0：Beta 96：Developer Edition 96：Nightly 97.0a1：
Thunderbird 91.4.0：Earlybird 96：Daily 97.0a1：SeaMonkey 2.53.10/2.58a1：
Opera 82.0.4227.23：Google Chrome 96.0.4664.93/98.0.4756.0（Official Build）canary：
SRWare Iron 96.0.4900.0：Lunascape 6.15.2：Avant Ultimate 2020 build 3, 3.17.2020

たぶんですが、aides さんが書いてくださったリンク先より Firefox の最新版をダウンロードして、Firefox.app を入れ替えれば解決すると思います。ですが、自動アップデートが何かの理由でできなくなっている可能性も考えられます。
現状 Firefox 3.6.3 のままでディスクユーティリティ.app を立ち上げ、起動ディスクのアクセス権の修復を実行してから自動アップデートが可能か確認してみてください。
結果、自動アップデートができない場合は、下記リンク先より Firefox 3.6.3 をダウンロード、上書きしてインストールした後、自動アップデートができるかも確認された方がよいと思います。
Firefox 3.6.3 dmg ダウンロード