横から失礼します。
ylover さんが書きました:
画面上に「このページは、元の場所からセキュリティで保護された接続を使用せずに取得したものです。」と警告が出てきます。
この警告は、Firefox ではなく Google Tlanslator（Google 翻訳）が出しているようです。
文面から推測すると、SSL/TLS がらみの問題が検知されたことへの忠告だと思いますが、このメッセージが表示されていることと、翻訳結果が表示されないことは、直接的には関係ないように思います。
当方、S3.Google Translator は使っていないので、普通に Firefox 29.0 から Google 翻訳のページ ( translate.google.com ) を開き、ご提示の URL を指定して翻訳を実行してみましたが、おっしゃるような警告が出て、翻訳結果の表示にまではたどりつけませんでした。
Google 翻訳のサイトを、google.com でなく co.jp や fr にしても同様の結果でした。
New York Times 以外に、例えば 米 CNN や 英 BBC などのサイトを指定して翻訳を実行しても、同じような結果になりました。
翻訳言語を、英語→日本語ではなく、英語→フランス語、英語→中国語などにしても同様の結果でした。
一方、Google Chrome クローンの Iron 34.0 では、翻訳結果の表示までスムーズに運びました。
同じ Webkit 系ブラウザでも、Google Chrome とは違うコンセプトで開発されている Qupzilla 1.6.5 では、途中でセキュリティ警告のダイアログが開いて中断されました。この警告をスルーすると、翻訳結果は表示されました。
Opera 12.17（Presto 系）では、Firefox と同様に翻訳完了画面まで進めませんでした。途中に表示される "Translating..." または "翻訳中..." をクリックするとセキュリティ警告が開きましたが、この警告をスルーすると翻訳結果を表示することはできました。
これらの結果をふまえ、あらためて Firefox 29.0 で Web コンソールを開いて観察してみたところ、翻訳作業がストップしたあたりで混在コンテンツがブロックされていました。
ぼくは専門家ではないので正確な知識は持ち合わせていません。あくまでエンドユーザーとして推測できることになりますが、Google Tlanslator が実行される経路のどこかで、セキュリティ的に警戒すべき何らかの要因が検知されているのだと思われます。
Google Tlanslator もそれを検出しているので警告を出しているのでしょうし、ブラウザによってはより厳重に警戒して対処（表示をブロック）している可能性があります。
一般論としていえば、
（a）翻訳を要求するユーザー（ブラウザ、アドオン）
（b）翻訳対象となるサイト（今回はニューヨーク・タイムズ社のサイト）
（c）翻訳作業を実行する Google Tlanslator
―― この３者の間でやり取りがおこなわれるわけですから、その中のどこか（ひとつ、または複数）に障害があると、最終結果までたどり着けないこともある、という話でしょう。
この３者間でおこなわれるプロセスは、大雑把にいって次のような流れになろうかと思います。
1. （a）が（b）を指定して（c）に翻訳を依頼
2. （c）は（b）にアクセスし、ページ内に定義されているテキストコンテンツの場所（複数のサーバ）を逐一あたり、翻訳を実行。翻訳結果をまとめる。
3. （c）はこの結果を（a）に返す。
（1 と 2 、あるいは 2 と 3 の間で、（c）は依頼された翻訳作業以外の情報収集やアクセス解析等をおこなっていると思いますが、ここでは触れません。）
ある時期までは問題なく翻訳結果を表示できていたが、ある時を境に表示できなくなったとしたら、上記の経路のどこかに原因が生じた可能性も十分考えられます。
【補足】
（前説）
Firefox のオプション設定で、[詳細] -> [一般] -> [アクセシビリティ] にある [Web ページが自動的に転送や再読み込みさせようとしたときに警告する] にチェックを入れていると（デフォルトはオフ）、そのような動作をブラウザが検知したときページ最上部に [このページから他のページへの自動転送をブロックしました。] という警告バーが現れます。この右端にある [許可] ボタンを押すと、転送が実行されます。
（本題）
Google Tlanslator でも、内部的には様ざまな転送がおこなわれているようですが、ご質問にある翻訳結果を表示する最後の段階でも転送が実行されています。
上記の設定項目を有効にしておくと、この段階で 「このページは、元の場所からセキュリティで保護された接続を使用せずに取得したものです。」と出てくる警告の下あたりに、"Translating..." または "翻訳中..." という表示が出たまま止まります。最上部には、上述した警告バーが表示されているはずです。
このとき、"Translating..." または "翻訳中..." をクリックすると、翻訳結果を直接呼び出せるようです。ただし、Opera ではこれを実行したときセキュリティ警告が出ていますので、そのあたりにご留意ください。
この設定がない通常の状態では、すぐに自動転送されてしまい、"Translating..." または "翻訳中..." がないページが読み込まれます。ylover さんが書きました:
ところがアドオン内の’ページを翻訳’ですると問題なく翻訳されます。
上記の結果からみると、Google Tlanslator のページからの翻訳は、対象 URL に直接アクセスし、そのページ内で読み込み先が指定されている対象（例：インラインフレームとか）にもアクセスしてテキストコンテンツを取得しているように見えます。
一方、S3.Google Translator は使ったことがないので詳細は存じませんが、Google Tlanslator のウィジェットを利用して翻訳サービスを実行しているらしいです。
S3.Google Translator の "ページを翻訳" は、Firefox で現在表示されているページに対して実行されるのだと想像しますが、例えば Firefox が読み込んでいるそのページのテキストコンテンツを直接、翻訳対象としてウィジェットを通じて Google Tlanslator の翻訳エンジンにポストする、というような働きをしているのだと解釈できれば、こちらのやり方で問題が起こらないことの説明にはなるかもしれません。
荒っぽい言い方になりますが、このフォーラムに投稿文を書き込んで送信するのと同じようなプロセスを、読み込んだページをもとに自動的にやってくれるといいますか...。
それなら、対象ページのコンテンツごとに分散した複数のサイト（サーバー）に再アクセスする必要はなく、そのルートのどこかでセキュリティ上の問題が起こっていても関係ありません。
大雑把には、Firefox が読み込んで保持しているページの内容を Firefox から Google Tlanslator に直接投げることになるので、Google Tlanslator と Firefox の２者間のセキュリティさえ確保されていればいい、ということになります。
アドオンからの直接実行と、サイトを開いての実行で差が出るのは、そういうことなんじゃないでしょうか。
もしそうだとすると、Google のサイトからの翻訳作業で問題が起こることにはアドオンは関係なく、Google を含めた上記の３者間のどこかに問題があるということなんじゃないでしょうか。
アドオンを直接実行した翻訳プロセスで問題が起こるなら、それはアドオンに原因がある可能性が濃厚です。
ylover さんが書きました:
Googleフォーラムにも投稿しましたが回答をいただいた方から「firefox側の問題だからそのアドオンの作者に聞いてほしい」のことでした。
「Googleフォーラム」にどういう内容の質問をなさったのか存じませんが、その URL をお示しいただけると、このフォーラムを見ている方にも経過がわかりやすくなると思います。同じような質疑応答のくり返しも避けらるでしょう。
以上はあくまで推論に過ぎません。ぼくの力量では細部まではわかりかねますし、間違ったことを書いている可能性も十分あります。
仮に、ほぼ当たっていたとしても、ではどうやって解決できるかは、ぼくにはわかりません。セキュリティ上の警告が出ている部分（つまりサーバ側）で原因を取り除いてもらうしかないかもしれません。
そんな頼りない話なのですが、本件のトラブルシューティングを進めていく上で、考え方のヒントぐらいにはなればと思い、コメントを書き込ませていただきました。
的外れな話だったらすみません。
「Googleフォーラム」にどういう内容の質問をなさったのか存じませんが、その URL をお示しいただけると、このフォーラムを見ている方にも経過がわかりやすくなると思います。同じような質疑応答のくり返しも避けらるでしょう。