当方は downloads window を入れていないのですが、いちおう一般的な事柄を書きます。参考にしていただければと思います。
ごんざぶろう さんが書きました:ダウンロード終了のポップアップ(右下の
download complete)のみ、非表示にしたいのですが
方法はあるでしょうか？
ご存知のように、これは Firefox 本体の機能です。
お使いのアドオンがこの機能に関与してアドオン独自のコントロールをしていると、Firefox の about:config からの変更が働かないケースはあるかもしれません。
しかし、そうではないなら、about:config からの変更が働く余地はあると思います。
ごんざぶろう さんが書きました:「browser.download.manager.showAlertOnComplete」
↑自体存在していませんでした。
自分で新しく作ってみたらどうなりますか。
存在しない設定項目は、そのバージョンの Firefox では非標準ですが、ユーザーが任意に設定することにより、機能自体は働くことがあります。
ただし、非標準ということは、いずれはその機能自体が削除されるかもしれませんから、将来のバージョンではユーザーが意識的に設定してもまったく働かなくなるかもしれません。
about:config の画面内で、右クリックから [新規作成] -> [真偽値] でその名称の設定項目を作り、値を false にして完了させます。
（設定項目によっては、Firefox を再起動しないと変更内容が有効にならないものがあります。）
（補足１）
現行の Firefox 28.0 では、browser.download.manager.showAlertOnComplete をユーザーが追加して設定すると、その変更内容によってダウンロード完了通知の表示・非表示は切り替わるようです。
一方、4 月 29 日（日本時間 30 日？）にリリース予定の次期バージョン Firefox 29.0 では、ユーザーインターフェイス（UI）のデザインが大きく変更されることもあり、ダウンロードまわりの動作にも若干の変更があるようです。
そのひとつとして、「ダウンロード終了のポップアップ(右下の
download complete)」とおっしゃってるダウンロード完了通知は出なくなります。
通知としては、アニメーション通知（緑色の下向き矢印がズームアップされてから消えていくやつ）が残っています。
ダウンロード関連のアドオンを追加すると、動作がどう変わるかはアドオン次第だと思いますが、そのあたりまではテストしていません。
（補足２）
about:config を使い慣れると、つい忘れてしまいがちになりますが、次のことは必ず念頭に置いてください。
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動作保証対象外になります！
プログラムの高度な設定を変更すると、安定性、セキュリティ、パフォーマンスに深刻な問題を引き起こす恐れがあります。設定変更による影響を完全に理解している場合に限ってご利用ください。
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とりあえず以上です。的外れな話になっていたらすみません。