10/31 付けで Thunderbird 68.2.1 がリリースされています。
その修正点に

[url=https://www.thunderbird.net/en-US/thunderbird/68.2.1/releasenotes/]Thunderbird — Release Notes (68.2.1) — Mozilla[/url]
[quote][b]fixed: [/b]Problem with Google authentication (OAuth2)[/quote]
[url=https://mozillazine.jp/?p=6185]MozillaZine.jp » Blog Archive » Thunderbird 68.2.1 がリリースされた[/url]
[quote]修正: Google 認証 (OAuth2) に関する問題を修正[/quote]
というものがあります。
バージョン 68.2.1 にアップデートして、問題が継続するか確認してみてください。

[quote="freeflow1962"]OSは、Mac OSX 10.14.6 Mojaveです。[/quote]
Mac特有の問題が介在している可能性も考えられますが、私はMacには詳しくありませんのでそれに関してはMac利用者の方に任せたいと思います。

[quote="freeflow1962"]Thunderbird(68.2.0)でgmailを受信していますが、2.3日前からThunderbirdのウィンドウを開く度にgmailの認証を求められます。正確な携帯の電話番号とパスワードを入力すると、携帯の二段階認証を求められ、応じると、gmailの認証画面は閉じるのですが、同時に「imapの認証に失敗しました」という通知が表示され、gmailの送受信が出来ない状態です。[/quote]
順番に切り分けていきましょう。
まず、Google側のセキュリティ設定はどうなっているか確認をお願いします。
[list]
[*]「Google へのログイン」のパスワードは合っているでしょうか。また、「2段階認証プロセス」がオンになっていてスマートフォンにメッセージが送られる設定になっているかと思います。
[*]「Google による本人確認の方法」に電話番号やメールアドレスは設定されているでしょうか。そちらにショートメールや電子メールで本人確認が来るはずですが、きちんと本人である旨を選択されているでしょうか。
[*]「お使いのデバイス」にThunderbirdを利用されている Macのパソコンは登録されているでしょか。
[*]「アカウントにアクセスできるサードパーティアプリ」に「Mozilla Thunderbird Email」（これはWindowsの場合ですが）は登録されているでしょうか。[/list]　

次にThunderbird側はどうでしょうか。
いったんセーフモードで起動して試してみてください。
https://support.mozilla.org/ja/kb/safe-mode-thunderbird

それで改善するようなら拡張機能の影響が疑われます。
改善しないなら、新しいプロファイルを作成し、そこにGmail用のアカウントを新たに設定して試してみてください。
サーバー設定で
サーバー名：imap.gmail.com　ポート：993
接続の保護：SSL/TLS
認証方式：OAuth2
そしてユーザー名とパスワードが合ってることを確認してください。

これでもだめならセキュリティソフトなどが通信をブロックしてないか、HTTPSのスキャン機能を有効にしていないか点検してみましょう。

Thunderbird(68.2.0)でgmailを受信していますが、2.3日前からThunderbirdのウィンドウを開く度にgmailの認証を求められます。正確な携帯の電話番号とパスワードを入力すると、携帯の二段階認証を求められ、応じると、gmailの認証画面は閉じるのですが、同時に「imapの認証に失敗しました」という通知が表示され、gmailの送受信が出来ない状態です。それ以前は問題なくgmailの送受信が出来ていました。thunderbirdの設定は変更しておりません。またエラーコードの類も表示されません。
OSは、Mac OSX 10.14.6 Mojaveです。
よろしくお願いします。