Thunderbirdのほうも２バイトコードがダメというわけじゃないと思いますがThunderbirdはUTF-8です。他のはsjisそのままじゃないのでしょうか。
どっちにしても今のThunderbirdのアカウントとパスワードの管理の仕組みでは上手くいかないと思います。そのまま日本語のアカウントで使うにはThunderbirdでは無理だと思います。

はい、POPアカウントに日本語が使えるソフトウェアを使用しているようです。
TEA○WAR○という富士通のソフトウェアです。

Becky!を今まで使っていましてこれは何事もなく使用できていたのですが、色々と事情がありましてこちらに乗り換えようと思ったのですが…。

なんにせよ『2バイトコードが駄目』とエラーが出るならまだしも、書き換えられているようなので報告したほうがいいですかね。

サーバのユーザ名が漢字というのは本当でしょうか。
OSのアカウント名と勘違いされていませんか？

バージョン1.5を使用、インストールした直後です。

サーバ設定のユーザ名に漢字（自分の名前がアカウントなのです）を入れたところ、
「パスワードの送信は成功しませんでした。メールサーバ～が応答しました:invalid password, 0c ×」
と表示されました。

ちなみにアカウントは漢字ですが、パスワードは英字です。
で確認したところ「invalid password,」の後ろに書かれた文字はサーバ設定のユーザ名に入っていました。

さらにサーバ設定のユーザ名に再度漢字で入力すると、
「このユーザ名とサーバ名のアカウントがすでに存在します。別のユーザ名と（または）サーバ名を入力してください。」
と表示され、漢字を入れたユーザ名欄の文字が勝手に「0c ×」に変わってしまいました。

ユーザ名欄に適当に2バイトコードを入れるてみると化けるようなので、単にThunderbirdでは対応していないだけなのでしょうか？