Firefox の拡張機能「Hide Private Mode」を使用することで、プライベートブラウジングモードの検出を防ぐことができます。
[url=https://addons.mozilla.org/ja/firefox/addon/hide-private-mode/]Hide Private Mode | Firefox (ja) 向け拡張機能を入手[/url]

その概要：
プライベートブラウジングモードは、
特定のデータのローカルシステムへの保存をブロックする Web ブラウザーの特別なモードです。
閲覧データや Cookie は、そのモードでは保存されません。
そのため、ペイウォール（有料）のコンテンツを扱う新聞や雑誌のサイトの多くは、（Cookie の保存を強制し）IndexedDB API の存在を介してプライベートブラウジングモードを検出し、サイトへのアクセスをブロックしようとします。
当拡張機能の開発者は、プライベートブラウジングモードが使用されているかを検出できる抜け穴を発見し、その対策の拡張機能を公開しました。（現時点では、拡張機能を使用しない状態では、ネイティブな Firefox では検出されてしまいます）
当拡張機能は、インストールするだけ（特別な設定は不要）で機能し、これらのブロックをバイパスする偽の実装を提供します。
[url=https://github.com/hensm/hide_private_mode]オープンソースで開発されています。[/url] GitHub でソースコードを確認し、 [url=https://github.com/hensm/hide_private_mode/issues?utf8=%E2%9C%93&q=is%3Aissue+is%3Aall]issue（課題）を報告する[/url] こともできます。

参考記事：
Hide Private Mode for Firefox prevents private browsing mode detection | gHacks Tech
（Firefox の拡張機能「Hide Private Mode」を使用することで、プライベートブラウジングモードの検出を防ぐことができます。）
https://www.ghacks.net/2019/10/09/hide-private-mode-for-firefox-prevents-private-browsing-mode-detection/