お二人とも早速のご回答有難うございます。
原因がわかって安心しました。
ＩＭＥの買い換えですね…。

Windows 8 ＋ ATOK 2010以前の旧式（IMM）IME + 64bit版 Firefoxの組み合わせで、クラッシュや動作不安定の報告が多数上がっているようです。Firefox 56.0.1 へのアップデートでは、Windows 7以上でメモリが4GB以上ある場合に自動で64bit版になります。

[url=http://www.d-toybox.com/studio/weblog/show.php?id=2017102600]Bug-org 1409155 ATOK 2006, ATOK 2008, ATOK 2009 and ATOK 2010 crash 64-bit version of Firefox on Win 8.1 or later and ATOK 2007 doesn't work fine with same environment - WebStudio[/url]

[quote]なお、ATOK内部でのクラッシュで、Google Chromeやメモ帳など、他の64bitアプリで同様の症状が見られますので、Mozilla側でやれることは何も無いと、現在のところは思われます。[/quote]だそうです。

[quote="browser CRUSH!"]56.0.1にアップデートしたタイミングからだと思うのですが、
Firefox ウィンドウ上でＩＭＥをＯＮにすると、
即座にブラウザがクラッシュします。
それ以外に何かのソフトその他をインストールした覚えはありません。[/quote]
[quote="browser CRUSH!"]
ＯＳ　：ＷＩＮ８．１
ＩＭＥ：ＡＴＯＫ２００８
ＭＳ－ＩＭＥ（２０１２）の場合はブラウザは落ちません。
[/quote]
明らかに、ATOK に問題があります。
2008 という旧式の Version なので、
[url=https://blog.mozilla.org/addons/2015/08/21/the-future-of-developing-firefox-add-ons/]Firefox の（v57）メジャーアップデート[/url]直前の仕様（e10s：マルチプロセス化）に準拠していないのでしょう。
ジャストシステム社への問い合わせが必要です。
サポート切れを名目に、最新版の購入を要求されると思われますが・・・

この際、「[url=https://www.google.co.jp/ime/]Google 日本語入力[/url]」への切り替えは如何でしょうか？
ATOK の資産を引き継ぐことが出来ます。
[url=https://support.google.com/ime/japanese/answer/166752?hl=ja&ref_topic=25554]インストールと基本的な設定 - 日本語入力 ヘルプ[/url]
[url=https://support.google.com/ime/japanese/answer/166759?hl=ja&ref_topic=25554]基本的な使い方 - 日本語入力 ヘルプ[/url]

56.0.1にアップデートしたタイミングからだと思うのですが、
Firefox ウィンドウ上でＩＭＥをＯＮにすると、
即座にブラウザがクラッシュします。（窓が自主的に閉鎖します）
気付いたのは２～３日前です。そのちょっと前にブラウザが更新されました、
というメッセージが出たのを覚えています。
それ以外に何かのソフトその他をインストールした覚えはありません。

ＯＳ　：ＷＩＮ８．１
ＩＭＥ：ＡＴＯＫ２００８

ＭＳ－ＩＭＥ（２０１２）の場合はブラウザは落ちません。

他ではそういう現象は起きてないですか？