当方の環境は Windows 10 バージョン 1607(RS1: Anniversary Update)ですが試してみました。
Firefox 43.0.4 (32bit版) の新規プロファイルにて、TweetDeckを開いてtweetのフォームに入力してみましたが、日本語入力自体はできました。
ただ、MS-IMEですと変換候補のウインドウが画面の左上に、Google日本語入力ではFirefoxのウインドウのすぐ下に出るとい挙動が見られました。
ちなみに、Firefox 54.0.1 (64bit版) ですとそういうこともなく、変換候補のウインドウは入力位置に出ます。
ところで、
lupacexi さんが書きました:
Windowsのアップデートをした後に起こるようになったようです。
とのことですが、バージョン1511(TH2) の状態で機能アップデートを延期しつつ、Windows Updateを最近やったということでしょうか?