私も同様の現象が発生しました。

Windows XP SP3
Thunderbird 2 から Thunderbird 3.0 にアップデートした際に
すべてのアカウントのメール受信（メールサーバーとの接続）ができなくなりました。
（アップデート直前まで、Thunderbird 2 では問題なく動作していました。）

私の環境では、インターネット（HTTPの接続）にプロキシを通す必要があるため、Thunderbird のネットワーク設定でもプロキシを使用するように設定しています。
この設定を「プロキシを使用しない」に変更したところ、メールの受信が正しく行われるようになりました。
なお、メール送信については未確認ですが、プロキシ設定を使用されている場合は確認してみてください。

セキュリティソフトは導入されていますか？
エラーメッセージを拝見しないと断言できませんが、インバウンド (ネットワーク→システム) の通信が遮断されているように思われます。
導入されていましたら、Thunderbird 3 に対するルールを確認してください。
基本的に Thunderbird 2 と 3 は別のソフトとして認識されるため、改めて通信を許可してやる必要があります。

■MacOSX 10.5.8で、表題のバージョンアップをすると受信できなくなりました。
▼症状
・登録している８個のアカウント全て、受信できない。
・登録している８個のアカウント全て、送信のみ動作。
・アカウント内容（popなど）はもちろん変更していない。

▼対応
×TB削除、再インストールしても変わらず。
×アカウントの一部を変更して試したが、変わらず。

▼余談
・元のバージョン（2.0.0.22）に戻したら、全て正常動作。
・余談ですが、Win2000では、バージョンアップしても本症状は出ていません。

▼対応
・元のバージョンで当分使い続けて、3.1が出た頃に再度バージョンアップ予定。
・不具合追跡で、確認箇所があれば、お教え頂けると幸いです。