「送信済みトレイがなくなってしまい、作成できない」についての話です。

POPアカウントの場合、Thunderbirdの画面上で見えている「送信済みトレイ」は、プロファイル内では
【Mail】>【メールサーバ名】>Sent（拡張子無し）ファイル
が該当します(【 】はフォルダ)。
現在使用中のプロファイルは、Thunderbirdのメニュー>ヘルプ>トラブルシューティング情報より開くことができます。
[url=http://torikagotonari.hatenablog.com/entry/2016/01/10/162419]使用中のプロファイルフォルダを開きたい。 - とりかごとなり。[/url]
ここで開いたプロファイルフォルダの中に「Mail」のフォルダがあります。

まずプロファイルフォルダのBB@***.**アカウントに相当する部分、
[list]
[*]【Mail】>【***.**】内にSentがあるかどうか
[*]Sentがあった場合、ファイルの読み書き属性は適切か(読み取り専用などではないか)[/list]といったことを確認してみてください。[attachment=0]sent2.png[/attachment]

上記に該当する場合、
[list]
[*]プロファイルフォルダにSentがない→Sentを手動で作る
(右クリック等コンテキストメニューから「新規作成→テキスト ドキュメント」とする)
[*]ファイルの属性が不適切→OSの機能で読み書きの属性を修正する[/list]で改善する可能性があります。
※これらの操作は、Thunderbirdを終了させた状態で行うこと。

そのほか、既に挙げられていますセーフモードや新規プロファイル作成といった基本の対策も試してみてください。

まず、最初に投稿されたkazu2016さんとkiki2さんとは同一人物ですか。
わざわざ(追加情報)と書かれていることから同一かと推測しますが、なりすましを疑われる原因にもなるので、お名前の表記は統一してください。

使用環境を書いて頂きありがとうございます。
Windows8＋Thunderbird45.4.0の環境、POPのアカウントですね。
[quote="kiki2"]現在の状態は以下のようになっています。
Thunderbird上では3種類のアカウントが設定されています。
AA@***.**
BB@***.**
Thunderbirdの左サイドメニューには下記のメニューが表示されています。
AA@***.**
受信トレイ
下書き
送信済みトレイ
ゴミ箱
BB@***.**
受信トレイ
下書き
ゴミ箱
BB@***.**は受信は出来るが送信が出来ない状態です。[/quote]
AA@***.**は問題なく送受信が出来て、BB@***.**のみ送信ができないという理解でよいですか？
「送信できない」という時の状況について、前便で
[quote="meeyar"]送信できない時に何かメッセージなどが出るようでしたら、その中身を書いて下さい。ない場合は「ない」と書いて下さい。
「ない」場合、「メールの作製画面が開けない」「送信ボタンがない」「送信ボタン押しても反応がない」「送信中のままいつまでも完了しない」などの現象を書いて下さい。[/quote]
と伺ったのですが、何かメッセージなど具体的に確認されていますか。

というのは、たとえば何かエラーメッセージが出るといった場合だと、そのメッセージについて
サーバ側が言ってきている→サーバの設定を見直してみる
Thunderbirdが言っている→自分の使用環境(Thunderbirdのプロファイル)を見直してみる
といった問題点の切り分けにつながるからです。
メッセージがない場合であっても、「○○の状況である、そのため送信が行われていない」と具体的に書いて頂くことで、その後の推測の手掛かりになります。

[quote="kiki2"]メニューバーのツール>アカウント設定>サーザ設定では、ユーザー名とメッセージの保存先が異なるだけの状況です。
メニューバーのツール>アカウント設定>送信控えと特別なフォルダについてもメルアドが異なるだけです。
送信（SMTP）サーバも各メルアドの送信（SMTP）サーバの設定も編集を見るとユーザー名が異なるだけです。[/quote]
「送信控えと特別なフォルダ」の設定で、既定では「メッセージ送信時に自動的にコピーを作成する」にチェック入っていて、「次のアカウントの”送信済みトレイ”フォルダ」で該当するアカウントの名前(今回の例ではBB@***.**に相当する名前）が選択されています。[attachment=0]sentandfolder.png[/attachment]
が、何がしかの設定をいじったりする(※)と、ここの設定がずれていたりすることがあります。
※メッセージ保存先を一度違うところに変更し、再度元の設定に戻したなど
ここで表示されている”送信済みトレイ”フォルダはBB@***.**の名前が正しく選択されていますか?

また、送信(SMTP)サーバの設定についてですが、ここは
メールアドレス - メールサーバ名
の関係で紐づけがされています。
BB@***.**の設定がAA@***.**や他のメールアドレスのものになっているなどないでしょうか？
また、BB@***.** - ***.**の紐づけが正しい場合であっても、その設定内容は誤りないでしょうか？

送信済みトレイ周りは次便に書きます。

Windows8でThunderbird45.4.0を使用しています。
プロトコルはPOPです。
現在の状態は以下のようになっています。
Thunderbird上では3種類のアカウントが設定されています。
AA@***.**
BB@***.**
Thunderbirdの左サイドメニューには下記のメニューが表示されています。
AA@***.**
受信トレイ
下書き
送信済みトレイ
ゴミ箱
BB@***.**
受信トレイ
下書き
ゴミ箱
BB@***.**は受信は出来るが送信が出来ない状態です。
メニューバーのツール>アカウント設定>サーザ設定では、ユーザー名とメッセージの保存先が異なるだけの状況です。
メニューバーのツール>アカウント設定>送信控えと特別なフォルダについてもメルアドが異なるだけです。
送信（SMTP）サーバも各メルアドの送信（SMTP）サーバの設定も編集を見るとユーザー名が異なるだけです。

　
[color=#006600]＊質問・投稿する前に、製品のヘルプ、このフォーラム内を検索・閲覧して該当項目や
　同類・類似事例がないか、確認してみましょう。
　また、広くインターネット上でも同類・類似事例がないか、調べてみましょう。
＊質問・投稿する前に [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum][b][u][color=#0000FF]フォーラムの利用について[/color][/u][/b][/url] をしっかり読んで、その内容を理解
　した上で、それに沿って投稿しましょう。
＊ご自分の利用環境として、正確な OS の名称・種類と Thunderbird のバージョンぐ
　らいは書き添えましょう。
＊質問した後やアドバイスをもらった後は放置せずに、結果や経緯を必ず書くようにし
　ましょう。
＊ここは相互ユーザサポートを通じて、各種情報・事例をユーザ同士でシェアする場で
　もあります。[/color]
　
　
「送信済みトレイ」の有無は該当アカウントの受信プロトコル種別が POP なのか IMAP なのかで
異なってきます。
POP アカウントのケースとしてコメントします。
また、meeyar さんと一部重複します。


[quote="kazu2016"]いつの間にかThunderbirdメーラーの左サイドのメニューから「送信済みトレイ」がなくなり、メール送信が出来なくなりました。[/quote]
まず最初に、「送信できない」場合の一般的なヘルプガイドは次のとおりです。
[参照]
[url=https://support.mozilla.org/ja/kb/cannot-send-messages]メッセージが送信できない | Thunderbird ヘルプ[/url]

次に、それまであった「送信済みトレイ」が突然なくなるのは、明らかに異常です。
それがきっかけで送信できなくなるのも異常です。

セキュリティ対策ソフトの各種設定内容（シールド、スキャン、SSL/TLS など）の点検やテンポ
ラリフォルダ内に未処理のまま残っているファイルの有無なども調べてみてください。
　＃このフォーラム内でも障害を起こしていた事例がいくつか報告されています。

[参照]
[url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=3&t=14367]MozillaZine.jp フォーラム - 送信ができません。（ エラーメッセージ："一時ディレクトリ" の設定確認）[/url]


[quote="kazu2016"]一度使用できないメールアドレスをアカウントから削除し、再度作り直してみたのですが、「送信済みトレイ」は作成できず、メール送信も出来ません。[/quote]
「送信済みトレイ」はアカウントを作成したらできるものではありません。
メッセージの送信時のコピー保存をアカウント設定内で設定し、メッセージ送信することで自動
的に作成されます。
そういう仕様になっています。

それでも「送信済みトレイ」が作成されて保存できず、メッセージ送信もできないのであれば、
これも明らかに異常です。
解決するためには問題点を切り分けて対処してみることをお勧めします。

以下の順番で、トラブルシューティングをおこなって対処してみてください。
この対処で原因らしきものの絞り込みが進展する可能性があります。
これでも問題が再現する場合は、Thunderbird 以外に原因がある可能性が高いと思われます。

[b][基本的・定石的なトラブルシューティング対処方法][/b]
以下の順番でおこない、その都度変化があるか改善されたかを確認してみましょう。

１．Thunderbird のセーフモード起動
　　[color=#006600]＃アドオンを一時的に無効化する、診断モードです。[/color]
　　[color=#006600]＃これで問題が再現しなければ、ほぼアドオンが原因だと切り分けできます。[/color]
　　[color=#006600]＃アドオンをひとつづつ有効化・無効化して原因のアドオンを特定しましょう。[/color]
　　[color=#006600]＃ここでも問題が再現する場合は、プロファイルの破損の可能性があります。[/color]

　　[参照]
　　[url=https://support.mozilla.org/ja/kb/safe-mode]Thunderbird のセーフモード | Thunderbird ヘルプ[/url]

２．Thunderbird の新規プロファイルの「追加」作成と、その適用
　　注：現在使用中のプロファイルを削除する必要はありません。
　　[color=#006600]＃従前のプロファイルから一切データ類を引き継がないで、真っ新な状態で、[/color]
　　　[color=#006600]再現の有無を確認するものです。当然ながらアドオンもなしです。[/color]
　　[color=#006600]＃もちろん必要最小限の初期設定をおこない、再現テストの環境条件にします。[/color]
　　[color=#006600]＃これで問題が再現せず正常ならば、従前のプロファイルに何らかのダメージ[/color]
　　　[color=#006600]があったと切り分けできます。[/color]

　　[参照]
　　[url=https://support.mozilla.org/ja/kb/using-multiple-profiles]複数のプロファイルを使用する | Thunderbird ヘルプ[/url]

３．Thunderbird の再インストール
　　[color=#006600]＃通常のアンインストール後に、インストールフォルダが残っていたら、それ
　　　も削除します。
　　　その後、PC 再起動後にインストールをおこないます。[/color]
　　[color=#006600]＃アンインストールでプロファイルは削除されません。[/color]
　　[color=#006600]＃これで問題が再現せず正常であれば、本体側に何らかの問題があったと切り[/color]
　　　[color=#006600]分けできます。[/color]

[color=#0000ff]まずはご自身の利用環境（OSの種類やThunderbirdのバージョンなど）をお書きください。[/color]
アドオン入っている場合はその種類も。

[quote="kazu2016"]いつの間にかThunderbirdメーラーの左サイドのメニューから「送信済みトレイ」がなくなり、メール送信が出来なくなりました。一度使用できないメールアドレスをアカウントから削除し、再度作り直してみたのですが、「送信済みトレイ」は作成できず、メール送信も出来ません。[/quote]
まず、「送信済みトレイ」がなくなっていることと、メールの送信自体が出来ないこととは別に考えた方がと思います。

使っていたメールアドレスについて、プロトコルはPOPとIMAPのどちらになっていますか?
メニューバーのツール>アカウント設定>サーバ設定の「サーバの種類」で確認ができます。
「送信済みトレイ」」周りについては、どちらの設定になっているかで着眼点が変わってきます。
[quote="kazu2016"]どのようにしたらメール送信が可能になるのでしょうか？Profileを見ても、そのアドレスだけ送信フォルダがないようです。[/quote]
メールが送信できない理由（可能性）は多岐にわたるので、現時点でピンポイントの対処は示せません。
送信できない時に何かメッセージなどが出るようでしたら、その中身を書いて下さい。ない場合は「ない」と書いて下さい。
「ない」場合、「メールの作製画面が開けない」「送信ボタンがない」「送信ボタン押しても反応がない」「送信中のままいつまでも完了しない」などの現象を書いて下さい。

そのほか、セーフモードや新規プロファイル作成でも問題が再現するかどうか見てみてください。
これらで再現しない場合、今お使いのプロファイルに不具合抱えている可能性が高いです。
[url=https://support.mozilla.org/ja/kb/safe-mode]Thunderbird のセーフモード | Thunderbird ヘルプ[/url]
[url=https://support.mozilla.org/ja/kb/using-multiple-profiles]複数のプロファイルを使用する | Thunderbird ヘルプ[/url]

【補足：送信済みトレイについて】
Thunderbirdの送信済みトレイはプロファイルの中では
POPの場合：Mailフォルダ>サーバ名フォルダ内のSent（拡張子無し）ファイル
IMAPの場合：ImapMailフォルダ>サーバ名フォルダ>Inbox.sbdフォルダ内のSent（拡張子無し）ファイル
になります。
※IMAPの場合はサーバ設定によって異なる場合があり、名前が「Sent」になっていないこともあります（Gmailなど）

いつの間にかThunderbirdメーラーの左サイドのメニューから「送信済みトレイ」がなくなり、メール送信が出来なくなりました。一度使用できないメールアドレスをアカウントから削除し、再度作り直してみたのですが、「送信済みトレイ」は作成できず、メール送信も出来ません。どのようにしたらメール送信が可能になるのでしょうか？Profileを見ても、そのアドレスだけ送信フォルダがないようです。