[quote="risonaseven"]サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メールをGmail経由で同期させようとしています。
Gmailのフォルダにある送受信メールは、Gmailをサンダーバードに読み込むことで実現ができています。
これを独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールでやろうとしています。[/quote]
何がどうなっていて、何をどうしたいかが、理解できない...

[list=1]
[*] Gmailのフォルダにある送受信メールは、Gmailをサンダーバードに読み込むことで実現ができています。
これは、IMAPかPOP3かは知らぬが、ThunderbirdにGmail のアカウントを定義し、普通にGmailのサーバーにアクセスできている、ということでしょう。
[*]これを独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールでやろうとしています。
「これを」は、何をどのようにすることを指す？
「独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールで」は、現在その「独自ドメインのメールアカウント」をThunderbirdで定義してあって、普通に独自ドメインのサーバーにアクセスできている、ということでしょうか？
[*]サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メールをGmail経由で同期させようとしています。
「サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メール」は、既にダウンロードしてあって、どこのサーバーにも存在しないメールデータのこと？
それならば、Gmail IMAPを使って、Gmail IMAPのメールボックスにメールをコピー(アップロード)すればいいだけの話...
「サンダーバードのローカルフォルダに保存される」であって「保存されている」ではないから、
あるPOP3アカウントのメールを全部Gmailに転送して、メールは全てGmailのアカウントだけで処理したい、ということだとは思うが。[/list]

メールは全てGmailのアカウントだけで処理したい、という場合、
(a) GmailではないPOP3アカウントのサーバー側のフィルターでGmailのメールアドレスに転送。
(b) GmailではないPOP3アカウントをGmailに登録しておき、Gmailに、勝手に定期的にログインしてメールをダウンロードしてGmailのInboxにいれさせる。
あたりが常套手段でしょう。
この場合、送信メールのコピーは、GmailではないPOP3アカウントにアクセスしているメーラーのローカルのファイルに保存されていますから、自動的にGmailのメールボックスにコピーするのは不可能。
(c) GmailではないPOP3アカウント用のメールアドレスでメールを送信する時に、
(c-1) GmailではないPOP3アカウント用のメールアドレスをGmailに登録しておき、
そのメールアドレスで送信する時にGmailのSMTPサーバーを使用し、
Gmailのサーバーに、Gmail IMAPの[Gmail]/Sent Mailに送信メールデータのコピーを保存させる。
(c-2) GmailではないPOP3アカウント用のメールアドレスでメール送信する時に、
送信メールのコピーをGmail IMAPの[Gmail]/Sent Mailに保存する。
くらいになるでしょう。

サンダーバードのローカルフォルダに保存される送受信メールをGmail経由で同期させようとしています。
Gmailのフォルダにある送受信メールは、Gmailをサンダーバードに読み込むことで実現ができています。
これを独自ドメインのメールアカウントでの送受信メールでやろうとしています。
2年くらい前に、設定方法を解説した記事があって、途中までやって断念しました。
再度、やろうとしているわけですが、設定方法を解説した記事が見つかりません。