【前置き】
Thunderbird 38 系は、31 系からのメジャーリリースとなるバージョンです。
31.x までにあった多くのバグ修正がおこなわれている一方、新機能の搭載、既存機能の仕様変更なども多く盛り込まれています。

日本語環境で日本語版 Thunderbird 38.x にアップグレードすると、文字処理が従来と異なる動作になり、送信メッセージや受信メッセージで文字化けが発生するケースがあります。
電子メールは相手があることなので、相手の環境条件によって大きく左右される側面もたしかにあります。
しかし、Thunderbird 側で対処可能な方法があればと思っていろいろ試してみましたが、ぼく自身は 38.x 系での文字化けを完全に排除する方法を見いだせないままでいます。
そのため、現時点では 31.x 系を併用しています。

【31.x 系のインストーラの入手】
31.x 系をどこからダウンロードすればいいかわからない、という話をしばしば耳にするので、そのあたりの対処法を紹介しておきます。

Thunderbird のリリースサイクルについては、下記のページを参考にしてください。
（参考）・Firefox/Thunderbird 法人向け延長サポート版 (ESR) のダウンロード
http://www.mozilla.jp/business/downloads/

Firefox のサイクル表が載っていますが、Thuderbird も同様で、31.x 系の最終バージョンが 31.8.0 になります。
このページの下段で 31.x 系のインストーラをダウンロードできますが、この投稿をした時点では、Thunderbird 31.7.0 しかダウンロードできません。

しかし、Thunderbird 31.8.0 の正式リリース版は、7 月 15 日（米国時間）に公開されています。
https://ftp.mozilla.org/pub/mozilla.org/thunderbird/releases/latest-31/

あるいは、上記の「Firefox/Thunderbird 法人向け延長サポート版 (ESR) のダウンロード」のダウンロードリンクの URL を書き換えることで、31.8.0 のインストーラをダウンロードできます。
一例：Windows 版 Thunderbird 31.8.0
https://download.mozilla.org/?product=thunderbird-31.7.0-SSL&os=win&lang=ja
　↓　31.7.0 のところにある 7 を 8 に書き換えてアクセスすると、31.8.0 のダウンロードが始まります。
https://download.mozilla.org/?product=thunderbird-31.8.0-SSL&os=win&lang=ja

【注意点】
31.x 系と 38.x 系では、大きな変化があります。
できれば同一のプロファイルを使い回すのを避け、基本的なアカウント設定はネイティブな方法で最初から構築し、メッセージデータやアドレス帳、メッセージフィルタなどを個別に移行、インポートするほうが、のちのちの安定性確保には役立つと思います。
とくに、31.x -> 38.x はまだいいのですが、38.x -> 31.x のダウングレードには注意してください。パスワード管理のファイル構成が変更されているなどがありますので、プロファイル内の各ファイルを不用意に移動・削除すると、逆に問題をこじれさすケースがあります。

以上、Thunderbird 38.x 系で文字化け等に悩まされているユーザーが、最新（かつ最終）の 31.8.0 を利用するための情報として、書いておきます。
（注）
当然ながら、サポート終了後の 31.x 系にはセキュリティ修正を含めて一切の修正はおこなわれなくなります。
38.x 系での文字化け等の問題を回避するために 31.x 系を使い続けることは、別の点でリスクを増します。そのあたりをどう取り扱うかはユーザー自身がご判断ください。