ちょっと時間が経ってしまいましたが、Thunderbird38.2.0にて、autocomplete(自動補完)に関する以下のBugがRESOLVED FIXED(修正済み)となっています。
[url=https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1187519]Bug 1187519 : Take Bug 1152517 "Recipient autocomplete wrongly considers last mouse-hovered contact ..." and Bug 1130858 "Recipient autocomplete suggestion overrides ANY manual address ..."into TB 38.x[/url]
[url=https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1152517]Bug 1152517 : Recipient autocomplete wrongly considers last mouse-hovered contact from results dropdown "selected" and then uses that unintended, random recipient upon blur (via Tab, Enter, or when moving to subject or body)[/url]

ただし、Bug1152517の[url=https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1152517#c60]Comment60[/url]にて、
[quote]We only fixed the "mouse hover" + "mouse click elsewhere" scenario.
We did not yet fix the "mouse hover" + tab/enter scenario ([url=https://bugzilla.mozilla.org/show_bug.cgi?id=1192739]bug 1192739[/url]).[/quote]
とあるので、どんな環境でも改善…ではないかもしれません。

もし可能であれば38.2.0にて改善されているか検証をお勧めします。
ただ、既にダウングレードをした環境であれば、そのままプロファイルを使いまわすことはお勧めできない(不具合誘発のリスクが高い)ため、別途新規プロファイルを作成し必要最低限のファイルを移行の上で試すとよいと思います。

LDAPcheck.png や MoreFunctionsForAddressBook の対処を試してみましたが解決せず、
試しにバージョンを24.8.0 に落とすと症状が改善しました。

（以下のサイトを参考にしてみました。）
http://daredemopc.blog51.fc2.com/blog-entry-479.html

自動的に更新されないようにして、このまま使ってみます。

meeyarさんからの助言で色々試せたこと感謝しています。
ありがとうございました。

この問題がいつごろから起こったのか、大まかで構わないので覚えておられますか？
また、導入しているアドオンなどあれば書いてもらえると似たような環境の方からアドバイスつくかもしれません。

addressbookとかautocompleteなどの単語で検索してみると、海外での類似例を見つけました。
Thunderbird31環境下で、自動補完のアルゴリズムがよろしくないためにオートコンプリートがトロいという内容です。
https://support.mozilla.org/en-US/questions/1011952?page=1

それで、このスレッドの2ページ目、
deepestbluetooさんのコメントで解決事例が書かれており、

[quote]This did not solve the problem for me, however by shear fluke I stumbled on the following solution.

Address book>tools>Options>Composition>Addressing> remove tick from directory server.
Happy happy[/quote]
とあります(LDAPcheck.png)。
これは日本語版で言うと、アドレス帳>ツール>オプション>編集>アドレス入力　の中の、「LDAPサーバー」のチェックを外す、
に相当します。
ちょっと確認してみてください。
当方の環境(Windows8.1+Thunderbird38.0.1)では、チェックが入っていると確かに補完がトロい傾向にありました。

これでも駄目な場合、アドオンに頼った方法になりますが、[url=https://freeshell.de/%7Ekaosmos/morecols-en.html]MoreFunctionsForAddressBook[/url]というアドオンを導入し、設定画面で「For autocomplete match just the beginning of the entries」にチェックを入れる(MFAB.png)とよいようです（MoreFunctionsForAddressBook0.7＆Thunderbird31以降で有効)。
上記スレッドの「Choosen Solution」にある内容です。
[quote]If you install MoreFunctionsForAddressBook, it will add a preference, morecols.autocomplete.match_just_beginning, which you can switch to true, and see if it makes any difference. Tools(or AppMenu/Options)/Options/Advanced/General/Config. editor, paste the preference in Search and double-click it to switch from false to true.
Edit: Version 0.7 of MoreFunctionsForAddressBook includes this switch on the Autocomplete tab of its Options (valid for TB 31+).[/quote]

[h2][/h2]

セーフモードで試しても、新規に作成したプロファイル環境でも問題解決しませんでした。
しばらく前に発生したので、システム復元するわけにもいかず、何か切っ掛けでこのようなことになったのかも不明です。

なかなか解決が難しい問題なのかもしれませんね。

外してましたか…

アドオンの干渉を疑った背景として、
「セーフモードでは再現しない」
という確認を行っていました。

普段使いの環境→再現する
セーフモード(アドオン全無効化)→再現しない
だったため、「何かアドオンが原因ではないか」と疑い、調べていったら当方の環境ではImportExportToolが原因と判明した、という流れです。
でも、同様の症状を引き起こすアドオンやテーマ等が他にもあるかもしれません。

とりあえずセーフモード
https://support.mozilla.org/ja/kb/safe-mode
を試して問題の切りわけをしては如何でしょう。
これで再現しなければ、ponoさんお使いのアドオンのどれかが原因と考えられます。
これでも再現するなら、新規プロファイルを作って
https://support.mozilla.org/ja/kb/using-multiple-profiles
再現するか見てみてはどうでしょうか。

環境は、Win7 64bit 、Thunderbird は、38.0.1 です。

確かに、「名前を入力してからメールアドレスが出てくるまでのタイムラグが長い」という状況で、出てくるのを待たずに
エンターキーで進んでしまうと、宛先不明となってしまいます。

meeyar さんが疑っていた ImportExportTools というものは使用していません。

[color=#000080]まずは使用環境（OS種類やThunderbirdのバージョン）をお願いします。
[/color]
[quote="pono"]宛先にアドレス帳に登録している名前を登録すると、通常は直ぐにそのメールアドレスも続けて登録されていましたが、
いつのまにか、名前だけが登録されてしまいます。
その状態だと、宛先不明で送信されないのですが、解決策をご存知の方がいらっしゃいますでしょうか。

ちなみに、名前を登録してエンターで確定するタイミングを遅らせると、メールアドレスも出てくることは分かっています
が、宛先を複数名指定するような利用を行っていますので、毎度、かなりストレスになっています。[/quote]
「メールアドレスも続けて登録」というのがちょっと「？」だったのですが、メール作成画面で「宛先」欄に受信者の名前（＝アドレス帳に登録されている名前）を全角で入れると、名前を入力してからメールアドレスが出てくるまでのタイムラグが長い、ということでよいでしょうか？

アドオンのImportExportToolsをお使いですか？
ImportExportToolsの3.2.1で類似した現象が再現しました。
（名前を打ち終えて確定してからメールアドレスが出るまで数秒かかる）

3.2.2で改善されているように思います。
AMOにまだないので作者のサイト（下記サイトの最下部）から。
https://freeshell.de/~kaosmos/mboximport-en.html

もし導入環境でしたら参考にしてみてください。

宛先にアドレス帳に登録している名前を登録すると、通常は直ぐにそのメールアドレスも続けて登録されていましたが、
いつのまにか、名前だけが登録されてしまいます。
その状態だと、宛先不明で送信されないのですが、解決策をご存知の方がいらっしゃいますでしょうか。

ちなみに、名前を登録してエンターで確定するタイミングを遅らせると、メールアドレスも出てくることは分かっています
が、宛先を複数名指定するような利用を行っていますので、毎度、かなりストレスになっています。