Suggestionありがとうございました。

こちらへは初めての投稿で作法を知らず失礼いたしました。

一度クリップボード拡張ソフトを試してみたいと思います。

Thunderbirdは検索能力も優れているのですが、メッセージIDはメッセージ一つ一つに固有のものですので、これを上手に使うとピンポイントで必要な情報へたどり着けると思っています。

（はじめに）
このフォーラムは、ユーザー同士が Mozilla 製品に関する情報や話題を扱うコミュニティフォーラムです。製品のバグ修正や改善要求を受け付ける場ではありません。
たまたま、Mozilla 製品の開発に携わっている方の目に留まるなどして、改善へと進むケースもないとはいいませんが、偶然まかせの側面が強いです。

製品のバグ修正や改善要求の窓口は、Bugzilla（英語サイト）が該当します。
リリースノートのページを参照してください。
http://www.mozilla.jp/thunderbird/31.5.0/releasenotes/
＊イントロ部分に書いてある「フィードバックを提供」の方は、残念ながら撤退してもはや利用できません。「バグを報告」（＝Bugzilla）をご利用ください。

ご要望の内容について、ユーザー同士の意見交換をしたいということなら、このフォーラムでもＯＫでしょう。

（本題）
Thunderbird ユーザー同士の意見交換という立場で......。

Message-ID をコピーすることは稀で、これまでとくに意識していなかったのですが、おっしゃるような現象は当方でも同様でした。
で、ぼくもご要望の内容には賛成です。

Message-ID を対象とした操作で、コピーをおこなうときは、「<」や「>」のカッコ（山括弧またはアングルブラケット――以下、簡略化のためブラケットと表記）付きで扱い、検索するときはカッコなしで扱うというのは、一貫性がないように思われます。
メールアドレスのコピーは、ブラケットがあっても中身のアドレスだけをコピーしますし......。

Message-ID や References 、In-Reply-To などのメッセージ識別子は、ブラケットで囲んでヘッダフィールドに記述されるそうですが、ブラケットを含んでメッセージ識別子というわけではなく、記述上のルールとしてそうなっているので、メッセージ識別子自体はブラケット内部の文字列ではなかろうか …… と、素人なりに RFC を読んで感じました。
とにかく、Thunderbird のヘッダコピー機能と、検索機能で、Message-ID の解釈に差があることを改善できれば、Thunderbird 内部の一貫性は保てるのではと思います。

（補足）
Thunderbird 本体での改善が望ましいのでしょうが、それが実現されるまでの間、何かしらの回避策があればいいな、とも思います。

（a）コピー段階で働くもの、（b）検索段階で働くもの、どちらかのタイプのアドオンで対処できればベターでしょうが、ぼくはそうしたアドオンや工夫の仕方を知りません。

もう一つの方法として、クリップボード機能を拡張してくれるユーティリティソフトを駆使したやり方が考えられます。
クリップボードにコピーした文字列に対し、特定の条件でその文字列を加工してくれるようなソフトです。こうしたソフトを常駐させておくことで、よく使うコピー＆ペーストの作業を効率化できるケースがあります。

ご質問のケースでは、行頭と行末のブラケットを削除するなどの指定を適切に施しておくことで、Thunderbird で Message-ID をコピーすると、自動的にブラケットを削除して中身だけをペーストするようにはできると思います。

ただし、HTML タグなど、ブラケットが付いた文字列を、ブラケットが付いたままコピー＆ペーストしたい場面がよくあるのなら、この方法は使えないと思います。
ブラケットで挟まれた文字列をコピーするのは、Message-ID にほぼ限られるということなら、導入してみる意味はあろうかと思います。

クリップボード拡張ソフトはいろいろ種類があるので、ご自身のニーズを実現してくれる使いやすいものを選んでください。

とりあえず以上です。役に立たない話、あるいは間違った話だったらすみません。

メールで来た予定をGoogleカレンダーなどに転記するといったことは良くある作業だと思います。
後になってGoogleカレンダーのタイトル行だけみた場合、内容を忘れていて、メールの方へ戻ることもよくあると思います。
Googleカレンダーのメモ欄にThundebirdのMessage-IDを入れておいてすぐにそのメッセージへ飛びたいと思っているのですが、ヘッダの表示を全てにして、メッセージIDを右クリックし、「メッセージIDをコピー」すると、メッセージIDだけでなく、その前後の　<>もコピーされてしまいます。　
<>が両サイドについた状態でThunderbirdのMessage-ID検索を行うとうまくいかず、毎回<>をはずす作業が必要になっています。

改善要望としては、「メッセージIDをコピー」のとき、両サイドの<>入れず、メッセージIDのみをコピーするようにして欲しいということです。　そうすれば、純粋なメッセージIDのみをGoogleカレンダーにコピペし、必要なときにそこからコピー、ThunderbirdのMessage-ID検索で見つけ出すことができます。

ちなみに、ThunderbirdのMessage-IDで検索を行いたいときは、編集→検索→メッセージを検索として、検索プルダウン一番下のカスタムヘッダに「Message-ID」を追加し、そこにメッセージIDをペーストすればできるようになります。

できれば、GoogleカレンダーにメッセージIDなどのリンクを埋め込んで、直接そのリンクへ飛べるようになるともっと便利かと思っています。