1日ほど待って接続できないままのため、あれこれ試行錯誤を始めたのですが、
読み返すと動転していたのかずいぶんなことをしてしまいましたが、
基本的にプロファイルのバックアップを取った上で行なっていますので、
現状では元通りの状態になっています。

でもまだ改善されないままです。
Microsoftの方に聞いてみます。

HotmailはExchange接続とIMAP接続でフォルダのリストが同期していなかったりして、
新着メールを両方に入れているだけで切り離されたサービスなんではないかと思っているところです。

どうもありがとうございました。

[quote="まいくろ"]「受信トレイにダウンロードしています」が4/4でずっと終わらず、
それどころか受信数が少しずつ増え16/4になったり(4が総数ですよね?)。[/quote]
総数は、最初に検知した新規メールの総数ですが、受信数は、ダウンロードが正常に完了した数ではなく、ダウンロードの試行回数になっています。
失敗したら1減らすとかしてくれれば、受信数が総数より多くてビックリ、なんてことがなくなるんですけどね。

[quote="まいくろ"]昨日あたりからなのですが、Thunderbird 24.5.0にて旧Hotmail/LiveメールなOutlook.comのIMAP接続がほとんど機能しなくなりました。
その間ずっと「サーバ(アカウント名)との接続が切断されました。サーバがダウンしたか、ネットワークに問題があるかもしれません。」
と1～10分間隔ぐらいでイベントログに記録されています。
Mac(10.9.3)で接続してもWindows(7 x64 SP1)で接続しても変わらず。
同じルーター下に接続されたiPhone(iOS7.1.1)の標準メールアプリからは正常ですが、これはたしかExchange接続だと思いました。とりあえずiPhoneで返信しています。
同じくIMAPのiCloud、Aol.com、それから数GBに達しているOffice365のOutlook.comは正常です。[/quote]
その通りのことがおこっている、というだけの話でしょう。
Exchange接続ならＯＫ、ならば、MS所有のIMAPサーバーの問題か、MS所有のIMAPサーバーにいたる経路の途中の問題。

[quote="まいくろ"]それでBacky!を試しに入れてみたのですが、こちらはほぼ正常に使えました。
何度かアプリケーションエラーで落ちましたからOutlook.com側に全く問題がないわけでは
なさそうですが、少なくともメッセージのダウンロードで止まるということはありませんでした。
(そもそもBecky!は使ったことがないのでIMAPの安定性も不明ですが)[/quote]
Beckeyでも、ThunderbirdのAuto-Syncのような、IMAPなのにPOP3と同様にメールデータを全部PCにダウンロードし、
同じIMAPアカウントを10台のPCのThunderbirdで共有すれば、サーバーにあるメールデータの10倍のデータを合計10台のPCで保存、
というようなことを行っていて、
それでもBeckeyならOKだったのですか？

[quote="まいくろ"]グローバル検索を止めてインデックスを削除してみましたが変わらず。[/quote]
グローバル検索は、POP3のようにダウンロードしてローカルに保存済みのメールデータに対して索引を作って高速全文検索、なんだから、この時点では、もうサーバーは無関係。
以下のことをやっている最中に、
　(a) もう一度、全メールのヘッダーを読みにいって、Inbox.msfに保存し直し、
　(b) もう一度、全メールの全データを読みにいって、Inbox保存し直し、
新たにダウンロードしてローカルに保存したメールデータに対して、負荷の高い、索引を作るという作業を行ってCPUやメモリーを使い、
ただでさえ負荷がかかって長時間かかる(a)(b)の作業の邪魔をする、
ということをなくしただけ、になります。

[quote="まいくろ"]受信フォルダ(imap-mail.outlook.comフォルダとimap-mail.outlook.com.msf)を削除しても変わらず[/quote]
そんなことをすれば、状況を悪化させるだけ、ということを理解していますか？

IMAPでは、POP3のFetch Headers Onlyと似たような感じで、メールのヘッダーデータだけをFetchし、Inboxだと、Inbox.msfというファイルにヘッダー情報を保存し、メールの本体や添付は、表示の都度サーバーから持ってくる、というのが基本です。
Beckeyは、標準の設定では、ここまでしか行わないはず。
その後、Auto-syncの機能を有効にしていると、POP3のように、全メールの全データをダウンロードし、Inboxの場合、Inboxというファイルに保存し、POP3のLeave Messaes on Serverと同様、サーバーには残したままになります。
Auto-syncの機能はデフォールトでオンですが、そのデフォールトを使う、というのは、あなたの明確な、デフォールトの値を使うという意思表示です。

にも関わらず、Inbox.msfとInboxというファイルを消せば、
もう一度、全メールのヘッダーを読みにいって、Inbox.msfに保存し直し、
もう一度、全メールの全データを読みにいって、Inboxに保存し直し、
が発生するのは明らかですよね？

因果関係が逆、ということはないですか？
Inbox.msfとInboxを消してしまったので「全メールのヘッダーと全メールの全データをサーバーから一度に読みこむ」が発生し、
そのため「負荷が大きくなってエラーが発生し、エラーがあったのでリトライ」が繰り返されている。

昨日あたりからなのですが、Thunderbird 24.5.0にて旧Hotmail/LiveメールなOutlook.comの
IMAP接続がほとんど機能しなくなりました。

「受信トレイにダウンロードしています」が4/4でずっと終わらず、それどころか受信数が少しずつ増え
16/4になったり(4が総数ですよね?)。

その間ずっと「サーバ(アカウント名)との接続が切断されました。サーバがダウンしたか、ネットワークに問題があるかもしれません。」
と1～10分間隔ぐらいでイベントログに記録されています。

Mac(10.9.3)で接続してもWindows(7 x64 SP1)で接続しても変わらず。
同じルーター下に接続されたiPhone(iOS7.1.1)の標準メールアプリからは正常ですが、
これはたしかExchange接続だと思いました。とりあえずiPhoneで返信しています。

それでBacky!を試しに入れてみたのですが、こちらはほぼ正常に使えました。
何度かアプリケーションエラーで落ちましたからOutlook.com側に全く問題がないわけでは
なさそうですが、少なくともメッセージのダウンロードで止まるということはありませんでした。
(そもそもBecky!は使ったことがないのでIMAPの安定性も不明ですが)

受信メールフォルダはWindowsのプロパティ読みで111MBほどなので巨大というほどではないと思います。
同じくIMAPのiCloud、Aol.com、それから数GBに達しているOffice365のOutlook.comは正常です。

グローバル検索を止めてインデックスを削除してみましたが変わらず。
受信フォルダ(imap-mail.outlook.comフォルダとimap-mail.outlook.com.msf)を削除しても変わらず
(ヘッダーのダウンロードまではできる)、アドオン無効で再起動も変わらず。ルーターをリセットしても変わらず。
「ネットワークとディスク領域」で「ディスク領域」を「今すぐ削除」しても変わりませんでした。
cookies.sqliteの削除というのもダメ。

何しろOutlook.com側かどうかの切り分けができておらず、Becky!の実験結果も信頼できるとは言いがたいので、
お力をお貸し頂ければと思います。

よろしくお願いします。