アカウント設定を削除してやり直したとのことですが、何らかのミスを見落としている可能性もあります。
下記のトラブルシューティングをやってみてください。

メッセージが送信できない
http://support.mozilla.org/ja/kb/cannot-send-messages

Niftyにメール設定のFAQがありますのでそれを参考に設定を確認して下さい。

Thunderbirdの新規アカウント設定方法を教えてほしい。
http://qa.nifty.com/cs/catalog/faq_nqa/qid_14150/1.htm

@niftyで提供しているメールサービスでメールソフトの設定をします。設定値を教えてほしい。
http://qa.nifty.com/cs/catalog/faq_nqa/qid_13025/1.htm

メール送信は、
1. SMTPサーバーに接続し、
2. SMTPサーバーに、ユーザーIDとパスワードでログインし、
3. 送り主のメールアドレスと、宛先のメールアドレスを、メッセージのヘッダーから抜き出して、それをSMTPサーバーに知らせ、
5. メールのデータを全部SMTPサーバーに引渡し、
6. SMTPサーバーがOKだと言ってきたら、メールクライアントは、後は一切関係なし、
で、どの段階でも、エラーがあれば、その先には進めません。

「送信ができない」とは、何をやったら、どのような状況になり、何が起こった、ということをを指すのですか？

何かエラーメッセージがでればそれを書くだろうから、Tbからエラーメッセージが出ないのだろうけれど、ステータスバーに接続中がでたままとかの、Tbからの何らかのフィードバックも一切無しで、有効になっている送信ボタンを押してもウンともスンとも言わない、というようなことは、何もしないのにある日突然起こる、というようことはあまり無くて、そういったのは、最初から全然ダメとか、アップグレードの後とか、アドオンを入れた後とか、そういいった時の話だと思うのだが...

Tbでは、From:に使えるメールアドレスを「差出人情報」として登録しておき、その中で、この差出人情報を使ってメールを送るときに、どのSMTPサーバーの定義を使って送るかを設定しておく、という形をとっています。
そして、差出人情報もSMTPサーバーも、いくらでも定義できるし、差出人情報とSMTPサーバーの関係も、好きなように設定できます。
ですから「あるメールアドレスでの送信」というだけでは、何の説明にもなっていないことになります。
そういった設定は、本当にきちんとなされているのですか？

「一昨日から急に」、ということのようですが、何していない、何もなかったのに急にそうなってしまう、というのは、水道管とかが劣化して突然破裂、というような現象をのぞいて、特にパソコンの世界では、まずありえません。
直前に、なにをやったのですか？
Yahoo!だと、遂に、POP before SMTPのサポートは一切なくす、ということを表明したようですが、そういった、重要なお知らせを無視している、というようなことは無いですか？

Windows 7.0と8.1のパソコンを複数台使っています。Thunderbirdはバージョン24.4.0です。
一昨日から急に受信はするものの、NiftyのEメールアドレスでの送信がThunerbirdでは出来なくなりました。
NiftyのWeb mailでは送受信が完全に出来ます。

パソコンのセキュリティーソフトを一時的にオフにしても結果は同じでした。
アカウント設定を一度削除して、再度設定してみましたが、変化がありません。
Nifty以外のEメールアドレスでは送受信になんら問題はありません。
Niftyのサポートと2時間ほどあれこれやってみましたが、埒があきませんでした。

あと、何をすればよいでしょうか...