ご回答ありがとうございます。
ご指摘いただいた内容について、試してみましたが、解決しませんでした。
バージョンアップされるまで、待ちたいと思います。

　
[color=#006600]＊質問・投稿する前に、サポートサイトやヘルプ、このフォーラム内を検索・閲覧して
　該当項目、同類・類似事例がないか、確認してみましょう。
　また、広くインターネット上でも、同類・類似事例がないか、調べてみましょう。
＊質問・投稿する前に [url=http://forums.mozillazine.jp/faq.php?mode=forum]フォーラムの利用について[/url] をしっかり読んで、その内容を理解
　した上で、それに沿って投稿しましょう。
＊質問した後やアドバイスをもらった後は、放置せずに、結果や経緯を必ず書くように
　しましょう。ここは、ユーザ同士で、各種情報・事例を、シェアする場です。[/color]　
　
　
まず最初に、Mac OS X 10.9.1 は、Thunderbird のシステム要件では、未対応となっています。
その点を、ご理解ください。

[参照]
[url=http://www.mozilla.jp/thunderbird/24.3.0/system-requirements/]Thunderbird 24 システム要件 | 無料メールソフト Thunderbird[/url]

このフォーラムの過去トピックにも、次のような事例があります。

[参照]
[url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=3&t=14580]MozillaZine.jp フォーラム - フォントサイズ[/url]
[url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=3&t=14582]MozillaZine.jp フォーラム - メッセージフィルタ[/url]
[url=http://forums.mozillazine.jp/viewtopic.php?f=3&t=14581]MozillaZine.jp フォーラム - 統合フォルダが機能しません。[/url]


次に、POP アカウントの Gmail で、受信済みのメッセージが表示されない件です。
要約（インデックス）ファイルが、不整合を起こしているかも知れません。
下記のヘルプガイドを参照して、対処してみてください。

[参照]
[url=https://support.mozillamessaging.com/ja/kb/compacting-folders]フォルダの最適化 | 操作方法 | Thunderbird ヘルプ[/url]

また、念のためですが、メッセージフィルタで別の場所に振り分けされていないか、迷惑メール
として処理されていない等も、確認してみてください。


上記の対処でも改善されない場合は、基本的なトラブルシューティングである次の対処で、問題
を切り分けてみましょう。
・Thunderbird のセーフモード起動
・Thunderbird の新規プロファイルの「追加」作成と、その適用
・Thunderbird の再インストール

これでも改善がなければ、システム要件（未対応）の問題かと思われます。

iMac OSX 10.9.1 Thunderbird 24.3.0

昨日辺りから、受信トレイのメールが表示されません。全部表示されない訳ではなく今現在、
2/17日ですが、2/10のメールが一件ずつくらい、ポツポツと落ちてきます。

設定としてはgmilをpop接続で落としています。（かなり前に設定し変更していません。）
今現在は、ネット上のGメールで確認しています。

試しに、自分宛てのメール（Gメール）を送信し、ネット上のGメールで確認すると受信されており、
受信されているメールの件名をコピーし、受信されているか試しにThunderbirdで検索すると見つかります。

メッセージをクリックし、編集→｢フォルダの情報を見る｣をクリックすると、名前→受信トレイと
なっています。

これは受信トレイにメールがあるということだと思うのですが、受信トレイを見てもメッセージが
ありません。何か、受信トレイにフィルタリングがかかっているのでしょうか？

ご教授の程、よろしくお願い致します。