追記ですが、フォルダ名を変更してもオフラインフォルダのチェックが外れてしまいますね。
バージョンはThunderbird1.5日本語版です。

複数台のPCからIMAP接続していますが、
うち一台は定期的にバックアップをとる関係で、
メッセージをすべてダウンロードしています。

ただ、「今後新しく作成したフォルダはオフラインで使用する」をチェックしていても
フォルダを移動したときは、オフラインで使用するフォルダのチェックが外れてしまい、
不便です。ローカルフォルダから移動した場合も同じです。
問題というよりも、仕様かもしれませんが。

あるいは、常にローカルにダウンロードするオプションもあるといいなと思いました。そうであれば出張先からダイヤルアップでメールをチェックする際もダウンロード漏れがなくて安心です。